一维谐振子的数值方法研究①

陈海军

(陇东学院物理系，甘肃庆阳745000)

0 引言

谐振子问题是量子力学和经典力学中的基本问题.任何体系在平衡位置附近的振动，例如，分子的振动，晶格的振动，原子核表面振动以及辐射场的振动等等，在适当的坐标变换之后，都可以分解为若干彼此独立的谐振动.谐振动还可以作为任何复杂振动的初步近似.在量子力学中，谐振子问题的精确求解过程，不仅提供了一整套量子力学处理具体问题的方法，而且为处理其它量子力学问题提供了物理基础.

鉴于大多数量子力学教科书都提供了一维谐振子问题的解析求解过程，本文简述一维谐振子问题的理论求解过程，然后利用数值计算的方法求解其定态解，并研究其随时间的演化规律.这种数值求解过程是数值方法研究其它量子问题的基础.

1 谐振子问题理论求解

根据量子力学教科书［1］简述一维谐振子问题的理论求解过程.

图1 解析解波函数及波函数的模方

代入方程(2)得到

级数展开求解，令

代入方程(4)得到递推公式

方程(6)表明级数H(ζ)和exp(ζ2)具有相同的收敛性，是发散的，因此必须取有限项使得H(ζ)变为厄米多项式Hn(ζ)，则有

得到λ =2n+1，则能量

因此和En相应的归一化波函数是

其中Nn为归一化系数.

图2 数值计算得到前三个能级所对应的波函数

图3 定态随时间传播过程

表1 前三个状态的能量及波函数

表1给出前三个状态的能量及其波函数.图1给出前三个解析解对应的波函数模方，即粒子出现……