解析几何中对称问题的认识与探索

2012-08-25 06:14:58湖北省当阳市河溶高级中学

中学数学杂志 2012年1期

关键词：方法

☉湖北省当阳市河溶高级中学刘勇

解析几何中对称问题的认识与探索

☉湖北省当阳市河溶高级中学刘勇

对称问题是高中数学的一个重要内容，也是平时学习的难点.它的运用非常广泛，不仅体现在数学知识上，有时还会渗透到物理应用中去.对称问题的题型主要体现在点关于点对称，直线关于点对称，点关于直线对称，直线关于直线对称，曲线关于点对称，曲线关于直线对称几个方面.下面我们举例说明.

一、点关于点对称

点关于点对称是大家比较常见的对称问题，也是最简单的对称问题.关于原点对称可以通过坐标系得出，关于一般点对称我们可采用中点公式求出对称点坐标.

例1 设点M（2，4），求点M关于点P（-1，2）对称的点N的坐标.

分析：P点不是坐标原点，要求出N点坐标必须利用中点坐标公式.若M（x1，x2），P（x0，y0），则N（2x0-x1，2y0-y1）.

解：点M（2，4），点P（-1，2），由中点坐标公式可得N（-4，0）.

直线关于点对称通常转化为点关于点对称.在直线上取出两个特殊点，然后求出两对称点可确定直线方程.在解题过程中我们发现直线关于点的对称直线和原直线是平行的，这样我们解决此类问题还可设平行直线系，再将一个对称点坐标代入即可求出.

例2 求直线2x+5y+6=0关于点（2，3）对称的直线方程.

分析：可设直线系方程，再代入一个特殊点，就可以确定直线方程了.

解：设对称直线方程为：2x+5y+c=0.在直线上取任意一点（-3，0），则（-3，0）关于点（2，3）的对称点的坐标为（7，6）.将点（7，6）代入方程2x+5y+c=0，得c=-44.故所求直线方程为：2x+5y-44=0.