EIFP环

胡雅蓉，李男杰，魏俊潮

（扬州大学数学科学学院，江苏扬州225002）

EIFP环

胡雅蓉，李男杰，魏俊潮＊

（扬州大学数学科学学院，江苏扬州225002）

给出EIFP环的定义，研究EIFP环的一些性质.主要证明了如下结果：①设R为EIFP环，则对每个e∈E（R），有eR（1－e）J（R）；②设R为quasi－normal环，e∈E（R），则R是EIFP环当且仅当eRe及（1－e）R（1－e）都是EIFP环；③R是Abel环当且仅当R是EIFP环和强左幂等自反环；④R是强正则环当且仅当R是von Neumann正则环和EIFP环；⑤R是约化环当且仅当R是n－正则环和EIFP环；⑥EIFP的exchange环有稳定域1.

EIFP环；幂等元；Abel环；von Neumann正则元；稳定域1

0 引言

在本文中，R表示有单位元的结合环；E（R），N（R）和J（R）分别表示R的幂等元集合、幂零元集合和Jacobson根.设XR，记lR（X）表示子集X在R中的左零化子，即lR（X）＝｛r∈R｜rX＝0｝，在不致引起混淆的情况下，有时简写为l（X）.特别地，当X＝｛a｝时，可表示为lR（a），简写为l（a）.设M为左R－模，N是M的R－子模，作为左R－模，若N是M的直和项，则用N｜M表示.

一个环R称为有稳定域1［4］，如果对任意a，b∈R，当aR＋bR＝R时，存在y∈R，使得a＋by是R的可逆元.显然R有稳定域1当且仅当R／J（R）有稳定域1.根据文献［5］，环R的一个元a称为exchange元，若存在e∈E（R），使得e∈Ra，1－e∈R（1－a）.一个环R称为excnahge环，若R的每个元都是exchange元.众所周知R为excnahge环当且仅当R／J（R）是exchange环且R模J（R）可幂等提升.文献［6］定理6指出：Abel的exchange环有稳定域1.文献［1］1867定理4.8指出：quasi－normal的exchange环有稳定域1.一个环R称为左quasi－duo环，若R的每个极大左理想是理想.［7］21宇化平［7］27证明了左quasi－duo的exchange环有稳定域1.本文将证明EIFP的exchange环有稳定域1，同时利用EIFP环，还给出强正则环、约化环和Abel环的刻画.

1 主要结果

定理1 设R为EIFP环，则对每个e∈E（R），有eR（1－e）J（R）.

证明 设e∈E（R）.任取a∈R，设h＝ea（1－e），则eh＝h，he＝0，h2＝0.设g＝1－e＋h，则g（1－e）＝g，（1－e）g＝1－e，g∈E（R）.由于e（1－e）＝0，所以eg（1－e）∈eE（R）（1－e）J（R），从而h＝eh＝eg＝eg（1－e）∈J（R），即ea（1－e）∈J（R），因此eR（1－e）J（R）.

一个环R称为左pp环，如果对每个a∈R，RRa是投射模.

推论2 1）设R为EIFP环，e∈E（R）.若ReR＝R，则e＝1；

2）设R为EIFP环和左pp环，则对每个a∈R，l（a）RaJ（R）.

证明 1）显然.

2）设a∈R，由于……