含参量x的无界反常积分

李志广

（山西大同大学数学与计算机科学学院，山西大同 037009）

含参量x的无界反常积分

李志广

（山西大同大学数学与计算机科学学院，山西大同 037009）

现行教材中对于含参量x的无界反常积分，仅仅给出了定义，对此进一步探究，给出了其一致收敛的判别法。

无界；反常积分；一致收敛

1 预备知识

定义1设f（x，y）在区域R＝［a，b］×［c，d）上有定义，若对x的某些值，y=d为函数f（x，y）的瑕点，则称

为含参量x的无界函数反常积分，或简称为含参量反常积分。若对每一个x∈［a，b］积分（1）都收敛，则其积分值是x在［a，b］上取值的函数。

定义2 对任给正数ε＞0某正数δ＜d-c，使得当0＜η＜δ时，对一切x∈［a，b］，都有

则称含参量反常积分（1）在［a，b］上一致收敛。

2 一致收敛的判定定理

定理1 含参量反常积分（1）在［a，b］上一致收敛的充分必要条件是：对任给正数ε，总存在某正数0＜δ＜d-c，当0＜η1＜δ，0＜η2＜δ时，对于∀x∈［a，b］有，

（充分性）对任给正数ε＞0，存在正数δ＜d-c，当0＜η1＜δ，0＜η2＜δ时，对∀x∈［a，b］有：

当η2→0时，有：

定理2 含参量反常积分（1）在［a，b］上一致收敛的充要条件是：对任一趋于d的递增数列｛An｝（其中A1＝c），函数项级数

在［a，b］上一致收敛。

证明（必要性）由（1）在［a，b］上一致收敛，故对任给ε＞0，必存在δ∈（0，d-c），对于0＜η＜δ，使得当A″＞A′，且A″，A′∈（d-η，d）时，对一切x∈［a，b］，总有

又由An→d（n→∞），所以对正数δ，存在正整数Ν，只需m＞n＞N时，就有Am＞An＞d-η，由（3）知，对一切x∈［a，b］，就有

这就证明了级数（2）在［a，b］上一致收敛。

（充分性）用反证法。假设（1）在［a，b］上不一致收敛，则存在某个正数ε0，使得对于任何实数0＜δ＜d-c，存在相应的d-δ＜A′＜A″＜d和x′∈［a，b］，使得

现在取δ＝min｛1，d-c｝，则存在d-δ＜A1＜A2＜d，以及x1∈［a，b］，使得

这与级数（2）在［a，b］上一致收敛的假设矛盾，故含参量反常积分（1）在［a，b］上一致收敛。

3 一致收敛的判别法

判别法2 设

（1）对一切实数c＜N＜d，含参量正常积分

对……