具时滞和脉冲的植化相克系统周期正解

汪东树，王全义

（华侨大学数学科学学院，福建泉州362021）

具时滞和脉冲的植化相克系统周期正解

汪东树，王全义

（华侨大学数学科学学院，福建泉州362021）

考虑一类具时滞和脉冲的两种群周期浮游生物植化相克系统，利用一些分析技巧和重合度理论，并巧妙构造一个同伦变换，得到该系统存在周期正解新结果，推广并改进了相关结果．

植化相克；脉冲；时滞；重合度理论；周期解

1 预备知识

在水生生态系统中，浮游植物群落巨大波动的研究是一个重要的课题［1－3］．考虑到种群通过产生植物间抑制物质毒素会影响到其他种群数量增长，以及环境呈周期性变化（季节性变化），文献［4］研究了一类系统

的周期解存在性问题．其中：系统（1）的系数和时滞都是连续可微的ω－周期函数．

考虑到脉冲效应对种群的影响，文献［5－6］研究了具脉冲的系统

的周期解存在性等问题．

考虑具有脉冲和可变时滞植化相克系统

的情况．其中：系统（3）满足以下3点假设：

A1）0＜t1＜t2＜…＜tp＜ω是一个周期内固定的脉冲点且tk＋p＝tk＋ω（k＝1，2，…）；

A2）di，k是一个实序列（di，k可以看成是种群yi在tk时刻的出生率或收获比率），且di，k＞－1，di，k＝di，（k＋p）（i＝1，2；k＝1，2，…）；

A3）ai（t），bi（t），ci（t）是非负连续的ω周期函数，ri（t），τj（t），σj（t）是连续的ω周期函数，且满足

2 相关引理和定义

首先，引入重合度理论中的延拓定理．

设X，Z是赋范向量空间，L∶DomL⊂X→Z为线性映射，N∶X→Z为连续映射．若dim ker L＝co dim ImL＜＋∞且ImL为Z中闭子集，则称L为指标为零的Fredholm映射．如果L是指标为零的Fredholm映射，且存在连续投影P∶X→X及Q∶Z→Z，使得Im P＝Ker L，ImL＝Ker Q＝Im（IQ），x＝Ker L⊕Ker P和Z＝ImL⊕ImQ，则Lp≜L｜DomL∩KerP∶DomL∩Ker P→ImL可逆．设其逆映射为KP，又设Ω为X中的有界开集，若QN∶¯Ω→Z与KP（I－Q）N∶¯Ω→X都是紧的，则称Z在¯Ω上是L－紧的．由……