Hölder型矩阵不等式及改进

黄 灿

(重庆大学数学与统计学院，重庆 400044)

Hölder不等式在数学定理的证明过程中起着重要的作用［1－2］。王松桂［3］给出了半正定Hermite矩阵迹的Hölder不等式成立的充要条件。设A，B为n×n阶半正定Hermite矩阵，A≠0，B≠0，p＞1，1/p+1/q=1，则 trA1/pB1/q≤(trA)1/p(trB)1/q，等号成立⇔∃k ＞0，使得 B=kA。本文利用 Fuad［1］给 Young 不等式加细的技巧对该结论进行改进，得到了实对称矩阵迹加细的Hölder不等式成立的充要条件。Young不等式、Hölder不等式及Minkowski不等式是几个重要的不等式。本文在文献［1］和文献［3］的基础上进一步将它们推广。

1 预备知识

Young不等式:若 a，b＞0，p＞1，1/p+1/q=1，则有

Hölder不等式:若 p＞1，1/p+1/q=1，则有

2 主要结果

定理1 加细的Hölder不等式为

两边同时乘X1/pY1/q。即得结论。

定理2 加细的矩阵Hölder不等式:设A，B为n×n阶实对称正定矩阵，p＞1，1/p+1/q=1，则

等号成立⇔∃k＞0，使得B=kA。

［1］Fuad Kittaneh，Yousef Manasrah.Improved Young and Heinz inequalities for matrices［J］.Math Anal Appl，2010，361:262－269.

［2］刘玉琏.数学分析讲义:上［M］.北京:高等教育出版社，2003.

［3］王松桂，吴密霞，贾忠贞.矩阵不等式［M］.北京:科学出版社，2006.

［4］Horn R A，Johnson C R .Matrix Analysis［M］.Cambridge:Cambridge University Press，1985.

［5］魏佳丽，郭辉.利用凸函数证明Hölder不等式［J］.重庆工商大学学报:自然科学版，2009(6):540－542.