一类具有常数避难所与收获率的捕食－食饵模型的稳定性分析

周稻祥，朱长荣

(重庆大学数学与统计学院，重庆 401331)

捕食－食饵模型一直都是生物数学研究的重要领域。近年来，由经典的捕食－食饵模型衍生出很多带各种新参数的种群模型，因为这些模型更能反映现实世界的真实状况，因此，引起了人们的广泛关注［1－119］。在这些模型中，带食饵避难所的捕食－食饵模型是重要的一种。研究结果指出:避难所在捕食者和食饵相互作用中发挥着稳定性的作用，并且避难所参数对系统的动力行为发挥着重要影响［2－9］。Olivares 和 Jiliberto［2］提出了如下的带食饵避难率的捕食者－食饵的种群模型:

其中:所有参数均非负;x和y分别表示在时间t的食饵和捕食者的种群密度;r表示食饵的内禀增长率;k表示最大环境容量;c表示转化率;a(xm)y/(1+β(x－m))表示HollingⅡ功能反应函数;d是捕食者的死亡率;m表示食饵避难所。

系统(1)已有很多研究结果［2，6－7］。文献［2］利用微分方程定性理论的方法指出系统(11)有3个平衡点，内部平衡点是局部渐近稳定的，而且证明了极限环的存在性。文献［6］通过构造Dulac函数研究了系统(1)的全局稳定性，且用Poincare-Bendixson定理证明了极限环的唯一性。

在生物数学中，考虑到生物链的健康性、可持续性以及生物链产生的效益，近期有很多学者研究了带收获率的生物模型［13－14］。朱天晓［13］考虑了具有线性收获率的生物模型:

其中h1、h2为捕获强度。文献［13］利用微分方程定性理论，给出了系统(2)的平衡点的稳定性条件，通过构造Dulac函数的方法，利用Bendixson-Dulac判定定理，证明了系统(2)不存在极限环。

在模型(1)和(2)的基础上，本文研究带线性功能反应曲线、常数食饵避难所和线性收获率的捕食－食饵模型。……