基于变分法的一元非线性回归分析

张同琦，李 凤

(渭南师范学院数学与信息科学学院，陕西渭南714000)

通常所谓的一元非线性回归问题，都是假定两个随机变量ξ，η之间的非线性函数关系是已知的，例如η =aebξ，给定(ξ，η) 一组样本值(xi，yi)(i=1，2，…，n) ，要求对其中的参数a，b作出估计，解决的方法是用变量代换，将其化为线性模型［1－5］.例如，令 Y=lnη，则有Y=ln a+bξ，这种情形，本质上仍是线性回归问题.本文研究具有统计相关关系的二维连续型随机变量(ξ，η)的非线性回归分析问题：η=f(ξ)+ε，ξ的分布是已知的，ξ与ε独立，ε ～N(0，σ2)，要求从给定的一组样本值(xi，yi)(i=1，2，…，n)来确定未知函数f(x).首先得出(ξ，η)的联合密度函数为.其次研究φ(x，y)的统计学性质和几何性质，由条件密度的表达式，易知，在过点(x，0)且平行于y轴的直线上，点(x，f(x))处的密度函数达到最大值，从而得到在xoy平面上的一切有二阶连续导数的曲线g(x)中，对给定的点＞ φ(x，g(x))，即曲线y=f(x) 是00一条极值曲线，从而将非线性回归问题归结为泛函极值问题，应用变分法，求出未知函数的分析表达式.本文对所提问题的研究有一定方法论方面的意义.

1 一元非线性回归模型及其性质

已知连续型随机变量ξ的密度函数为φξ(x)，另一随机变量η=f(ξ)+ε，ξ的分布是已知的，ξ与ε独立，ε ～ N(0，σ2).f(x) 为有二阶连续导数的未知函数，要求由给定(ξ，η) 的一组样本值(xi，yi)(i=1，2，…，n)来确定未知函数f(x).

首先，我们有如下定理：

定理1 设φξ(x)是连续型随机变量ξ的密度函数，令η =f(ξ)+ε，则二维随机变量(ξ，η)的联合密度为

上式等号两边同时对x，y求混合偏导数，得

显然，φ(x，y)有以下性质：

以上结果表明：当ξ=x时，条件分布φη|ξ(y|x)是以f(x)为中心的正态分布，条件密……