玻色—爱因斯坦凝聚现象中几个问题的探讨

潘营利

(渭南师范学院物理与电气工程学院，陕西渭南714000)

玻色—爱因斯坦凝聚现象是玻色统计中的一种重要现象，许多文献［1－4］都从不同角度对此做了阐述，但对其量子相变过程则讨论得较少.本文以理想玻色—爱因斯坦气体为例，从量子统计出发，对量子相变过程中的几个问题作以全面探讨，旨在使人们对此有一个全面的认识.

1 相变点方程及相变点曲线

对于理想玻色—爱因斯坦气体，由玻色统计有［5］：

此即为用P，V表示的相变点方程，由该方程可得相变点曲线如图1所示.

图1 玻色—爱因斯坦气体相变点曲线

应该注意，玻色—爱因斯坦气体出现凝聚相意味着不稳定发生，这一点利用稳定性判据即可看出［6］.在T＞TC时，凝聚相的粒子数为零，故

在T，V不变的条件下把(8)式对化学势μ求导数，注意到μ=－ kTα，则有

这是临界态的条件.由稳定性判据知，若这个态是稳定的，还要求=0.由于求导是在V不变下进行的，故求可换为求.同理(9) 式可写为

因此，这个临界态是不稳定的，要发生相的分离.

2 等温线方程及等温线

对于玻色—爱因斯坦气体，当T ＞TC时，μ≠0，α≠0;当T ＜TC时，μ=0，α=0，所以，其等温线方程在T＞TC和T＜TC时会表现出不同的形式.

2.1 T ＞ TC时

此时压强和粒子数满足关系式(2)和(3)，(3)/(2)得：

(14)式即为T＞TC时玻色—爱因斯坦气体的物态方程，当T一定时，即为T＞TC时的等温线方程，其α值可由(2)确定，且α仅依赖于温度T.

2.2 T ＜ TC时

此时，α→0，由于凝聚现象的发生，(2)式不再成立，其(3)式变为：

(15)式即为T＜TC时玻色—爱因斯坦气体的物态方程，可以看出，此压强只依赖于温度，与体积无关，并随T→0而趋于零.当T一定时，即为T＜TC时的等温线方程.可以证明，当T=TC时，(14)式和(15)式趋于一致.

综合以上讨论可得玻色—爱因斯坦气体的等温线方程为：

其等温线如图2所示.可见，等温线在T=TC处是连续的，是一条连续的曲线.

图2 玻色—爱因斯坦气体等温线(实线为等温线，虚线为相变点曲线)

3 两相平衡共存曲线方程和两相平衡共存曲线

两相平衡共存时，有μ1(T，P)= μ2(T，P)，从理论上讲，由 μ1(T，P)= μ2(T，P) 可给出两相平衡共存曲线.由于凝聚相的μ2(T，P)=0，故由两相平衡共存条件得：

同理，由 S=k(lnΞ + αN+ βU) 及(1)、(2)、(17)、(18)式可得摩尔熵为：

(21)式即为两相平衡共存曲线方程，由于两相共存时T≤TC，所以，两相平衡共存曲线有一个终点;同时可以看出，利用量子统计理论可以给出两相平衡共存曲线所满足的方程.由两相平衡共存曲线方程可给出两相平衡共存曲线如图3所示.

图3 两相平衡共存曲线

4 克劳修斯—克拉伯龙方程

克劳修斯—克拉伯龙方程描述的是两相平衡共存曲线的斜率所满足的方程.由(21)式可得：

(22)式即为玻色—爱因斯坦气体的克劳修斯—克拉伯龙方程.对于该方程，也可由两相平衡共存条件来得到.由(17) 式得：dμ1=0，而 dμ1= － s1dT+ ν1dP，所以

将(20)式代入(23)式即可得(22)式.

值得注意的是，这里所说的相变是在推广的意义上来理解的，因为这里的相变不是发生在真实空间，而是发生在动量空间里，因此，有些概念的理解不能完全和真实空间的相变过程一样理解.

以上我们对玻色—爱因斯坦凝聚现象中的几个问题作了全面的说明，了解这些对于全面掌握玻色—爱因斯坦凝聚现象是非常有用的.

［1］余学才，莫影.势场中玻色—爱因斯坦凝聚的临界温度［J］.物理学报，2004，53(12)：4075－4080.

［2］李红，林振权.重力场中相对论玻色气体的凝聚［J］.曲阜师范大学学报(自然科学版)，2011，37(3)：58－61.

［3］余学才，叶玉堂，程琳.势阱中玻色—爱因斯坦凝聚气体的势场有效性和粒子数极限判据［J］.物理学报，2006，55(2)：551－554.

［4］刘泽专，杨志安.噪声对双势阱玻色—爱因斯坦凝聚体系自俘获现象的影响［J］.物理学报，2007，56(3)：1245－1251.

［5］汪志诚.热力学统计物理［M］.第3版.北京：高等教育出版社，2003.293.

［6］龚昌德.热力学统计物理学［M］.北京：人民教育出版社，1982.241，243.

［7］［美］L.E.雷克.统计物理现代教程［M］.北京：北京大学出版社，1983.291，338.