曲线插值的一种具有还圆性的细分方法

韩 靖， 韩旭里

（中南大学数学科学与计算技术学院，湖南 长沙 410083）

插值细分方法是一种离散数据插值，是计算机辅助几何设计中用于曲线曲面表示的重要方法。由于细分方法通常没有显式表达式，仅提供一个算法描述过程，具有简单、高效等特点，所以特别适用于计算机表示。近年来，细分方法引起越来越多的关注。

传统细分方法有切割磨光法和四点插值法，已经有许多学者作了相关研究[1-10]。切割磨光法是逼近型细分方法，具有逼近性，光滑性，保凸性等优点，其中Chaikin方法已被证明其极限曲线是由已知控制多边形所定义的二次 B样条曲线[1-2]，但其极限曲线不经过控制顶点。文献[3]中的四点插值细分法，极限曲线可以表示三次B样条曲线。二次B样条曲线和三次B样条曲线作为分段多项式曲线，不能精确表示椭圆曲线。四点插值法是线性细分方法，简单易懂，但没有考虑控制多边形的几何形状，单从解析角度构造新点，不易对曲线的几何形状进行控制[8]，且其极限曲线上可能有多余的拐点等[7]。

近年来，细分方法对保形性作了许多研究。为了使产生的细分曲线具有更好的保形性，文献[11]提出了一种基于法向量的细分方法，可以证明这种方法产生的曲线G1连续，只要选取合适的参数，此方法为保形细分算法，而且具有许多优美的性质，例如：可以插值在指定点的法向量、可以生成圆锥曲线、直边等。文献[12]提出了一种基于切向的几何插值型保凸细分方法，在细分的过程中，每条边所对应的新控制顶点由原控制顶点及其切向确定。……