用试探方程法求解Boussinesq方程

杨玉婷，崔泽建

(西华师范大学数学与信息学院，四川 南充 637002)

非线性发展方程已广泛应用于自然科学的各个领域，而求解非线性发展方程［1］的精确显示解又是至关重要的．至今已经发展了一些有效的方法，包括逆散射法［2］、Backlund 变换［2］、双线性法、对称性法［3］等．本文利用由刘成仕提出的试探方程法［4-7］结合积分变换求解一个重要的非线性发展方程——Boussinesq方程，得到了方程的3类精确显示解．

1 试探方程法

我们考虑偏微分方程

这里p是一个多项式，我们首先做一个行波变换

有时通过积分可以对方程(3)进行降阶．试探方程法可以概述为以下几个步骤：

第1步 采取如下多项式变换

其中，φ是ξ的一个未知函数，这里a0，a1，…，am为确定的常数，且m≥1．

这样方程(3)可以变成

Q为相应的多项式．

第2步 我们令

则

把(6)代入方程(5)可得

第3步 假设方程(7)有如下多项式形式的解：

这里，b0，b1，…，bn是确定的常数．利用齐次平衡原理可以得到m和n的关系，把试探多项式(8)代入(7)可以得到一个关于φ的多项式，再根据多项式的系数相等可以得到一个代数方程组，然后通过解这个代数方程组，就可以得出a0，a1，…，am，b0，b1，…，bn的值．

第4步 积分以下一阶常微分方程

我们可以得到φ的值，进一步我们可以通过把φ的值代入方程(4)得到u的值．

2 应用

下面我们通过用试探方程法来求解Bouss-inesq方程：

其中 α，β，γ 为常数．

先进行行波变换，然后再积分，Boussinesq方程变为如下形式

这里，C是任意的常数．为了求解的方便，不妨设

根据我们上面所述的试探方程法，结合齐次平衡原理，我们可……