带有导数项非线性Schrödinger方程行波解的存在性

杨林林， 孙宗玉， 魏公明

（上海理工大学 理学院，上海 200093）

近年来，许多学者对非线性Schrödinger方程行波解的性质进行了研究.如Floer等［1］利用Lyapunov－Schmidt方法对一维不含导数项的非线性Schrödinger方程行波解的存在性进行了研究，随后 Oh［2－5］将其结论推广到高维情况；Ding等［6－7］和Rabinowitz［8］用变分法及山路引理证明了一类不含导数项的非线性Schrödinger方程行波解的存在性，Wang［9］进一步证明了这些行波解的集中性.本文推广了Floer等［1］的结论，证明了含一阶导数摄动项的非线性Schrödinger方程行波解的存在性和集中性，其中V，a（x）满足条件：

a.V是R上的连续有界函数；

b.a（x）是R上收敛于0的连续有界函数且a（x）∈C2（R）；

c.a（0）＝a′（0）＝0

对 方 程 式 （1），找 其 形 式 为φ（x，t）＝exp（－iEt／h）v（x）的解，其中v是实函数，函数V，E满足V－E＞0.将φ（x，t）代入式（1），得

不失一般性，假设γ＝m＝1，则

主要结论：

定理1 设x0是函数V的非退化临界点，V，a（x）满足上面的条件，则存在h0＞0使得对满足0＜h＜h0的h，方程（2）有非零解；当h→0时，这些解关于x0越来越集中.

文中所使用的一些记号：

H＝H2（R，R），L＝L2（R，R）（H2，L2均 为Sobolev空间）；（，）为L2内积；

1 线性估计

其中，λ＝E－V（0），Vh＝Vh（y）＝V（hy），令

Sh（u）＝a（hy）u′，则式（3）化为

易知，当h→0时，a（hy）→a（0）＝0且Vh－V（0）在R的紧子集上一致收敛于0.对式（4）两端取极限，得其形式极限为

所以，Sh（u）是S0（u）的一个摄动，且S0（u）＝0有两个解

采用Lyapunov－Schmidt方法，定义uz，h（y）＝u0对足够小的h＞0，找式（4）形式为uz，h＋φ的解.由Taylor’s展式知

若uz，h＋φ是式（4）的解，则Sh（uz，h＋φ）＝0.由 式 （6）知S′h（uz，h）φ＝ －Sh（uz，h）－Nz，h（φ），只需证明φ为－S′－1h（uz，h）（Sh（uz，h）＋Nz，h（φ））的不动点即可.

下面给出几个重要引理和定理：

引理1［1］对任意的h＞0，函数Sh是光滑映射，且其Fréchet导数为

证明 由H1嵌入到H、H嵌入到L6（Sobolev空间）为连续嵌入及H和L的定义，引理得证.

记S′0（uz，h） 的 核 为Kz，h， 则Kz，h＝span｛u′z，h｝.记K⊥z，h为Kz，h在H上的L正交补，对于φz，h∈K⊥z，h∩H，定义π⊥z，h：L→K⊥z，h，Lz，h＝π⊥z，hS′h（uz，h）｜K⊥z，h∩H.

引理2［2］存在b＞0，对任意满足V－E＞b＞0的E及u∈D（Hh），有

定理2 存在正实数γ，α1，h1，使得当时，有

证明 采用文献［11－12］的方法，假设定理结论不成立，则存在收敛于（0，0）的序列（zi，hi）∈R×R＋及序列对每个i，有

考虑H中的序列

对每个i，由式（7）及式（9）知则可在H中选出子序列仍记为ψi，使得ψi弱收敛于ψ∞.又（ψi，u′0）＝0，故（ψ∞，u′0）＝0.

下证ψ∞＝0.定义线性算子

对R上的任意有界区间Ω，定义，则

对于Biu，有

由Hh－E的自共轭性及S′0（u0）u′0＝0知

所以

由（Vi－V0）u′0在R上一致收敛于0及的有界性知（（Vi－V（0））u′0，ψi）→0（i→∞）.由ψi弱收敛于0知由的有界性及ai→0（i→∞），得0（i→∞）.所以与式（12）矛盾.定理得证.

2 非线性估计

本部分主要证明，对z∈R和足够小的h＞0，存在φz，h∈K⊥z，h，使得

由式（6）可知，式（13）等价于φz，h是Fz，h（φz，h）的不动点.

下证Fz，h（φ）在0的一个适当的小邻域内是一个压缩映射，由定理2知所以还需对作估计.

引理3［1］存在不依赖z和h的正数C，δ，对φ，φ′∈H，当时，有

其 中，v1，k3与h无 关.特 别 地，0（（z，h）→（0，0））.

证明 由S0（uz，h）＝0 可 得，Sh（uz，h）＝（Vh－V（0））uz，h＋a（hy）u′z，h.由

及

定理4 存在正常数D，α0，h0，使得对满足的z和h，有唯一的H，使得

及

根据定理2，选取满足h0≤h1，α0≤α1的h0，α0，使得时，下证Fz，h（φ）是从的压缩映射，对，易知Fz，h且

即Fz，h（φ）是从到的映射.对于φ，φ′∈，有

3 主要结果的证明

定义函数sh：（－α0，α0）→R为

定理5 函数vh在［－1，1］上一致收敛到v0.

证明 由式（22）得

下面，对e1，e2，e3，e4进行估计.

由于e1＝ （u′z，h，（Vh－V（0）uz，h）＝－（uz，h，V′huz，h）－ （uz，h，（Vh－V（0）u′z，h），所以

对e4，有

由于v＜2，可选取足够小的ε，使得当h→0，所有项趋于0，定理得证.

定理1的证明 由定理5知，对足够小的h＞0，vh在（－1，1）上必有一零解.由vh的定义知（Sh（uz，h＋φz，h），u′z，h）＝ 0.由定理4知Sh（uz，h＋φz，h）∈Kz，h＝span｛u′z，h｝.综上，当－hz＜z＜hv时，Sh（uz，h＋φz，h）＝0，故uz，h＋φz，h是式（3）的解.由构造过程知u（y）＝v（hy），uz，h且0（（z，h）→（0，0）），其中z∈（－h－v，hv），易知uz，h＋φz，h在平移量不超过hv－1的u0附近，故方程（2）的解集中在平移量及其微小的u0附近.

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