亚纯函数系数的高阶微分方程的解与其小函数的增长性

金瑾

（贵州省毕节学院数学系，贵州毕节 551700）

亚纯函数系数的高阶微分方程的解与其小函数的增长性

金瑾

（贵州省毕节学院数学系，贵州毕节 551700）

研究了高阶线性齐次微分方程f（k）+Ak-1（z）f（k-1）+…+A1（z）f＇+A0（z）eazf=0解的增长性，其中，Aj（z）≢0是亚纯函数，σ（Aj）＜1（j=0，1，2，…，k-1），a为非零复常数，得到了方程解的一阶导数、二阶导数、微分多项式与小函数之间的关系。

线性微分方程；小函数；亚纯函数；收敛指数

1 引言与主要结果

本文采用Nevanlinna值分布理论的标准记号[1-8]，用σ（f），λ（f）φ和λ¯（f）表示亚纯函数f（z）的增长级、零点收敛指数和不同零点收敛指数，用λ（fφ）和λ（f-φ）表示亚纯函数f（z）取小函数的零点收敛指数和取小函数的不同零点收敛指数。研究了高阶线性复微分方程的解f（z）与其小函数φ（z）的关系。得到了下述结论

定理 设Aj（z）≢0是亚纯函数，σ（Aj）＜1（j=0，1，2，…，k-1）为非零复常数，如果φ（z）是不恒为零的有限级亚纯函数且σ（Aj）＜1，则微分方程（1）的任意超越亚纯解f（z）都满足

2 证明定理所需的引理

引理1 假设（Aj）＜1（j=0，1，2，…，k-1），为亚纯函数且级小于1，Aj为互不相同的复常数，则

的所有超越亚纯解的级都为无穷。

证明 反证。由方程（2）变形得

若存在超越亚纯函数解f，其级σ（f）＜∞，由对数导数引理知：当r充分大时，

又因

σ（Aj）＜1（j=0，1，2，…，k-1），

故

σ（Aj/A0）＜1（j=0，1，2，…，k-1），

所以，∃ε＞0，使得当r充分大时，有

所以σ（f）=∞。

引理2 设（f z）是超越亚纯函数且

σ（f）=σ＜+∞，H={（k1，j1）（k2，j2），… ，（kq，jq）}是不同的整数对的有限集合，满足ki＞ji≤0（i=1，2，…，q）。假设ε＞0是个给定常数，则存在一集合E⊂［0，2π），其线性测度为零，使得如果φ∈［0，2π）-E，则存在常数R0=R（0φ）＞1，对满足arg z=φ及z≤R0的所有（k，j）∈H都有

而（3）的右边

引理3 设f1（z），f2（z），…，fn（z）（n≤2）为亚纯函数，g1（z），g2（z），…，gn（z）为整函数，满足下列条

证明 因为条件（ⅰ）中的恒等式可以改写为

故由引理3即可得出

fj（z）≡0（j=1，2，…，n+1）。

引理5 设A0，A1，…，Ak-1，F≢0都是有限级亚纯函数，如果f（z）是方程的