稳态分数阶Kalman滤波器

孙小君，闫广明

（黑龙江大学a．电子工程学院；b．机电工程学院，哈尔滨 150080）

0 引 言

近年来，随着现代科学技术的发展，在系统分析和集成中越来越要求系统的精确描述。因此分数阶微积分［1－2］也开始逐渐受到关注。文献 ［3］给出了分数阶微积分在粘粘性方面的研究；文献 ［4］则给出其在分形方面的研究；文献 ［5］和文献［6］分别使用分数阶微积分给出了频域和时域的控制算法。然而关于分数阶系统的Kalman滤波的研究却尚属少数［7－9］。在文献 ［7－9］中分别通过两种不同的推导方法得到了分数阶Kalman滤波器。

本文将对线性离散分数阶状态空间系统提出一种新的稳态分数阶Kalman滤波器。其推导过程完全不同于文献 ［7－9］。仿真例子说明了所提出的滤波器的有效性。

1 问题的提出

考虑如下线性分数阶离散状态空间系统：

式中t为离散时间；γ为分数阶；x （t）∈Rn为状态；y （t）∈Rm为观测；u （t）∈Rp为已知控制输入；w （t）∈Rr和v （t）∈Rm为白噪声；Φd、B和H 为适当维数的常阵。

式中n1，…，nN为系统方程的阶数；N 为方程数。

当γ＝1，Φd＝Φ－I时，可得到通常的整数阶离散状态空间系统：

【假设1】w （t）和v （t）为零均值方差分别为Qw和R的相互独立的白噪声。则：

【假设2】x （0）不相关于w （t）和v （t），且有：

【假设3】系统完全可观且完全可控［2］。

稳态Kalman滤波问题为基于观测 （y （1），…，y （t））求线性最小方差状态滤波器＾x （t｜t）。

2 稳态分数阶Kalman滤波器

由式 （1）、式 （2）和式 （3）有：

式中In为单位阵；q－1为单位滞后算子，q－1x （t）＝x （t－1）。

引入左素分解得：

其中qμA （q－1）为Φd的最小多项式。

将式 （12）代入式 （11）得：

在 （A （q－1）Im，HF （q－1）Bq－1，HF（q－1）q－1）左素且A （q－1）Im和HF （q－1）q－1没有行列式零点在单位圆上的左因式的假设下，应用式 （15）得到CARMA新息模型：

式中B （q－1）＝HF （q－1）q－1；D （q－1）为稳定的，D0＝Im；新息ε（t）是带零均值方差阵为Qε的白噪声，可得到如下关系：