关于(m，n)－凝聚环

龚志伟

(福建农林大学 计算机与信息学院，福建 福州 350002)

0 引言

本文总设环为有单位元的结合环，模均为酉模，用pd，fd表示模的投射维数，平坦维数。其余未指明的定义和符号可参见文献［1］和［2］。

1984年 Ng.H.K.在文［3］定义并研究了模的有限表现维数(f.p.dim)的概念，它度量了一个模为有限表现模的程度.1989年丁南庆教授在文［4］中定义了M的有限生成维数f.g.d(M)，它度量了模M为有限生成模的程度。作为推广，在文［5］中研究了模的n－表现维数FPnd(M)。它度量了一个模M为n－表现模的程度。

作为n－表现维数的应用，本文利用n－表现维数引进了(m，n)－内射模及(m，n)－平坦模的概念，讨论了它们的性质，并引进了右(m，n)－凝聚环的概念，给出了右(m，n)－凝聚环的若干刻画。

预备知识:

定义1.1 设M为右R－模，定义M的n－表现维数为

其中 Pm，…，Pm+n是有限生成的}。

若无上述分解存在，则定义FPnd(M)=∞。

显然，FP0d(M)即为文［4］中的有限生成维数f.g.d(M)，FP1d(M)即为文［3］中的有限表现维数f.p.d(M)。由定义1.1 知，M 是n － 表现模当且仅当FPnd(M)=0。

1 (m，n)－内射模与(m，n)－平坦模

定义2.1(1)设m，n是非负整数，M为右R－模，若对任意右 R－模 P，且FPnd(P)=m，都有(P，M)=0，则称 M 是(m，n)－内射的。

(2)设m，n是非负整数，M为右R－模，若对任意左R－模 Q，且 FPnd(Q)=m，都有(M，Q)=0，则称M是(m，n)－平坦的。(m，n)－内射左R－模和(m，n)－平坦左R－模可类似的定义。

显然，右R－模M 是(0，n)－内射的((0，n)－平坦的)当且仅当它是n－FP－内射的(n－平坦的)。

命题 2.2 设{Mi}i∈Ⅰ是右 R － 模集，m，n 是非负整数，则

(1)⊕ⅠMi是(m，n)－平坦的当且仅当每个Mi是(m，n)－平坦的。

(2)ⅡⅠMi是(m，n)－内射的当且仅当每个Mi是(m，n)－内射的。

命题2.3 M是(m，n)－平坦右R－模当且仅当M*是(m，n)－内射左R－模。

命题2.4(1)(m，n)－平坦模的纯子模是(m，n)－平坦的。

(2)(m，n)－内射模的纯子模是(m，n)－内射的。

证明(1)设M是(m，n)－平坦模，N是M的纯子模，则由纯正合列

可知，有可列正合列