两弱伴随矩阵的关系

张 慧，岳育英，白勇菊

(1.延安大学 数学与计算机科学学院，陕西 延安 716000;2.靖边七中，陕西 靖边 718500;3.吴堡县宋家川镇教委，陕西 吴堡 728200)

定义 1［1］设矩阵 A=(aij)n×n∈Mn(C)，Mij为矩阵A中元素aij的余子式，将矩阵

称为矩阵A的弱伴随矩阵。

定义2［2］矩阵A与B相抵(或等价)是指对矩阵A作行和列的有限次初等变换后可得到矩阵B，亦即存在初等矩阵 T1，…，Tp，S1，…，Sq使得

定义3［3］设矩阵A，B∈Mn(C)，如果存在非奇异矩阵S∈Mn(C)，使得

则称B与A相似。

定义4［3］设矩阵A，B∈Mn(C)，如果存在酉矩阵 U∈Mn(C)，使得

则称B酉等价(或酉相似)于A，如果U可以取实矩阵(因而是正交矩阵)，那么就称B正交等价(正交相似)于A。

定义5［4］设矩阵A，B∈Mn(C)，如果存在非奇异矩阵Q∈Mn(C)，使得

则称A与B是共轭相合(或共轭合同)的;或者使得

则称A与B是转置相合(或转置合同)的。

引理 1［5］设矩阵 Eij，Ei(k)，Eij(k)∈Mn(C)，Eij是第一种初等矩阵，Ei(k)是第二种初等矩阵，Eij(k)是第三种初等矩阵，则

定理 设矩阵A，B∈Mn(C)，

(1)若 AB=BA，则 A*wB*w=B*wA*w;

(2)若A与B相抵，则A*w与B*w相抵;

(3)若A与B相似，则A*w与B*w相似;

(4)若A与B酉等价，则A*w与B*w酉等价;

(5)若A与B正交等价，则A*w与B*w正交等价;

(6)若A与B共轭相合，则A*w与B*w共轭相合;

(7)若A与B转置相合，则A*w与B*w转置相合。

证明(1)因为AB=BA，所以

(2)因为A与B相抵，所以存在初等矩阵T1，…，Tp，S1，…，Sq使得

因为 T1，…，Tp，S1，…，Sq是初等矩阵，所以，…，…也是初等矩阵，因此A*w与B*w也相抵。

(3)因为A与B相似，所以存在非奇异矩阵T使得 T－1AT=B。

①当|A|≠0，则|B|=|T－1AT|=|A|≠0，

②当|A|=0，|B|=|T－1AT|=|A|=0，则必存在 δ＞0，当0＜t＜δ时，

由①知存在非奇异矩阵Q使得

上式两端矩阵的元素都是关于t的n次多项式，当0＜t＜δ时，对应元素相等，因此对任何t，(B+tE)*w=Q－1(A+tE)*wQ 都成立，取 t=0，B*w=Q－1A*wQ。

故A*w与B*w相似。

同理可证(4)，(5)也成立。

(6)因为A与B共轭相合，所以存在非奇异矩阵T，使得 THAT=B。

因为T是非奇异矩阵，所以(TH)*w也是非奇异矩阵。

故A*w与B*w共轭相合。……