三轴压缩下粉砂质泥岩蠕变本构模型研究

李亚丽，于怀昌，刘汉东

（华北水利水电学院 资源与环境学院，郑州 450011）

1 引 言

岩石蠕变本构模型与参数辨识选取是岩石流变力学理论和实践中的重要研究课题，也是构架理论联系实际的桥梁。根据岩石蠕变试验资料，建立符合实际的蠕变本构模型并确定相应的模型参数是岩石流变力学研究中的一项重要内容。

研究人员已开展了大量的岩石蠕变本构模型研究工作，取得了许多研究成果[1－10]。由于元件组合模型可以用直观的方法反映岩石复杂的蠕变力学特性，该模型应用较为广泛。常用的元件模型只能描述岩石的衰减蠕变和稳定蠕变特性，无法反映岩石的加速蠕变特性。针对这一问题，研究人员已提出一些可以描述岩石加速蠕变特性的非线性元件模型[7－10]，但总体来说，目前这方面的研究仍有待于进一步丰富和完善。另一方面，在岩石蠕变模型参数辨识研究中，一般依据分级加载或分别加载条件下岩石的蠕变试验结果建立相应的蠕变本构模型，并在此基础上辨识得出各级应力水平下岩石轴向与径向的蠕变模型参数。然而，对于各级应力水平下岩石蠕变模型参数的选取问题，即各级应力水平下蠕变模型参数是取以轴向应变辨识得到的模型参数，还是取以径向应变辨识得到的模型参数问题，目前还没有开展这一方面的研究工作。实际上，由于岩石材料的非均匀性以及离散性等特点，各级应力水平下岩石轴向与径向的蠕变模型参数各自独立并不统一，模型参数取值时应考虑岩石蠕变的各向异性以及岩石轴向与径向蠕变力学特性的差异，这对于岩石工程的长期安全与稳定评价是更合理的。

基于此，本文依据粉砂质泥岩三轴压缩蠕变试验结果，选取线性黏弹性 Burgers模型来描述岩石的衰减蠕变和稳定蠕变特性，构建非线性 Burgers模型来描述岩石的加速蠕变特性。采用 Levenberg-Marquardt算法辨识得出各级应力水平下岩石轴向与径向的蠕变模型参数。考虑岩石蠕变的各向异性以及轴向与径向蠕变量、蠕变速率大小的差异，对各级应力水平下岩石的蠕变模型参数进行选取。研究成果可为今后开展此方面的研究提供一定的参考依据。

2 岩石三轴蠕变试验与成果

采用RLJW-2000岩石流变伺服仪，对三峡地区巴东组二段饱和粉砂质泥岩进行三轴压缩蠕变试验。饱和粉砂质泥岩的单轴抗压强度为11.96 MPa，弹性模量为1.75 GPa，泊松比为0.28。岩石蠕变试验在分级加载条件下进行，试验围压为1 MPa。文献[11]中对粉砂质泥岩三轴压缩蠕变试验方法、试验结果及岩石蠕变规律分析等内容进行了详细论述，这里不再重复。由试验数据可以做出粉砂质泥岩轴向应变与径向应变的等时曲线，如图1所示。从等时曲线中可以看出以下特点：

图1 应力-应变等时曲线Fig.1 Stress-strain isochrones

（1）应力-应变等时曲线为一簇曲线，随应力和时间的增加，曲线逐渐凹向应变轴，说明应变随时间的增加而逐渐增大，变形模量随时间的增加而逐渐减小，表明粉砂质泥岩的蠕变具有明显的非线性特征，且随着应力水平的提高，非线性的特征越明显。

（2）在应力-应变等时曲线上有比较明显的近似直线变到曲线的转折点，转折点前、后曲线斜率有明显变化，表明粉砂质泥岩可视为弹、黏、塑性体。在前8级应力水平下，轴向应变与径向应变等时曲线近似为一族直线，表明粉砂质泥岩在低于破裂应力水平下可视为线性黏弹性体，当达到破裂应力水平时，轴向应变与径向应变等时曲线为一族曲线，表明粉砂质泥岩在破裂应力水平下可视为黏弹塑性体。因此，可以用一个线性黏弹性模型与一个非线性黏塑性模型串联而成的组合模型来描述岩石的蠕变力学特性。

3 线性黏弹性蠕变模型

当低于破裂应力水平时，粉砂质泥岩的蠕变具有明显的黏弹性特征。元件模型中的 Burgers模型是一种黏弹性体，可以较好地描述具有衰减蠕变和稳定蠕变特征的蠕变曲线，并且模型简单实用[12－14]。因此，采用 Burgers模型来描述岩石的衰减蠕变与稳定蠕变特性，并确定模型参数。

3.1 Burgers模型

Burgers模型由Maxwell体与Kelvin体串联而成，如图2所示。

假定岩石体积变化是弹性的，流变性质主要由偏差应力引起的，则三维应力状态下 Burgers模型的蠕变方程为[15]

图2 Burgers模型Fig.2 Burgers model

式中：Sij、eij分别为三维应力状态下岩体内部的偏应力张量与偏应变张量；G1为瞬时剪切模量；G2为黏弹性剪切模量；η1、η2为黏滞系数。

3.2 Burgers模型参数辨识与验证

依据式（1），采用Levenberg-Marquardt（L-M）[16]算法分别对粉砂质泥岩轴向以及径向蠕变试验曲线进行辨识，辨识得到的模型参数如表1所示。

将模型参数代入式（1），得到轴向蠕变拟合曲线与径向蠕变拟合曲线。对比模型拟合曲线和试验曲线，可以看出二者吻合较好，如图3所示。模型拟合曲线既反映了岩石加载后的瞬时弹性变形，又反映了第1阶段的衰减蠕变和第2阶段的等速黏滞流动过程。由此可见，Burgers蠕变模型可以准确地描述粉砂质泥岩的衰减蠕变与稳定蠕变特性。

表1 以轴向应变和径向应变辨识得到的Burgers模型参数Table1 Parameter values of Burgers model identified by axial strain and radial strain

图3 前8级应力水平下岩石蠕变试验曲线与拟合曲线Fig.3 Comparisons between creep curves and theoretical curves under first eight stress levels

从更完善的角度来看，用 Burgers模型来拟合试验曲线，在第1级应力水平下，衰减蠕变阶段模型拟合曲线与试验曲线相差较大，而在其他较高的应力水平下，衰减蠕变阶段与稳定蠕变阶段模型拟合曲线与试验曲线较吻合，拟合效果较好，如图 3所示。从表1中也可以看出，第1级应力水平下模型参数值与其他应力水平下的模型参数值相差较大。因此，用 Burgers模型来描述较高应力水平下粉砂质泥岩的衰减蠕变特性与稳定蠕变特性较为准确，而描述较低应力水平下粉砂质泥岩的衰减蠕变特性稍有不足。

3.3 Burgers模型参数意义

对比以轴向应变和以径向应变辨识得到的两组Burgers模型参数，结合模型参数所反映的物理意义，如表2所示，可以得出如下认识：

（1）G1反映了试样的瞬时弹性变形模量。试样轴向与径向的瞬时弹性变形模量并不一致，径向的瞬时弹性变形模量较轴向大，即岩石在一定应力水平下径向产生的瞬时应变小于轴向产生的瞬时应变，这与文献[11]中的分析结论是一致的。

（2）td=η2/G1，反映了试样达到稳定蠕变阶段所需的时间。由表2可知，轴向蠕变与径向蠕变达到稳定蠕变阶段所需的时间均随应力水平的增加而增大。除第1级应力水平外，在其他各级应力水平下，轴向蠕变达到稳定蠕变阶段所需的时间要较径向蠕变所需的时间长。

表3 粉砂质泥岩轴向模型参数与径向模型参数的变化规律Table3 Variance laws between axial and radial model parameters of silty mudstone

4 非线性黏弹塑性蠕变模型

线性元件模型无法描述岩石加速蠕变阶段的变化规律，而加速蠕变是岩石破坏失稳的关键阶段。因此，有必要进一步研究粉砂质泥岩加速蠕变阶段的应力-应变-时间特征。

4.1 非线性蠕变模型的建立

在加速蠕变阶段，应力保持恒定不变，非线性蠕变实质上是应变-时间的非线性关系，元件模型中，用来表示应变-时间关系的为黏性元件，因而可以用非线性黏性元件替换模型中的线性黏性元件，或在元件模型中增加一个非线性黏性元件。基于此，提出一个非线性黏性元件，采用应力触发方式，将其与塑性元件并联，组成一个新的非线性黏塑性元件，如图4所示。

在恒定应力S0作用下，非线性黏塑性元件的蠕变方程为

图4 非线性黏塑性元件Fig.4 Nonlinear viscoplastic body model

式中：Sf为应力阈值；a、b、η3为蠕变参数，由试验数据确定；H(S0-Sf)为对应的屈服准则，其表达式为

考虑到 Burgers模型可以准确地描述粉砂质泥岩的衰减蠕变和稳定蠕变特性，因此，可以将非线性黏塑性元件与 Burgers模型串联起来，构建一个新的六元件非线性黏弹塑性Burgers蠕变本构模型，如图5所示。

图5 六元件非线性黏弹塑性Burgers蠕变本构模型Fig.5 Six-component nonlinear viscoelasto-plastic Burgers creep constitutive model

在恒定应力S0作用下，非线性Burgers模型满足下述关系：

（1）当 S0＜Sf时，岩石未进入加速蠕变阶段，非线性黏塑性元件不发挥作用，非线性 Burgers模型退化为Burgers模型，其蠕变方程如式（1）所示。

（2）当 S0≥Sf时，岩石进入加速蠕变阶段，非线性 Burgers模型各部分元件均发挥作用，模型方程为

4.2 非线性Burgers模型参数辨识与验证

采用 L-M 算法对粉砂质泥岩的加速蠕变全程曲线进行辨识，以轴向应变和以径向应变辨识得到的非线性Burgers蠕变模型参数，分别如表3所示。

图6分别为轴向与径向蠕变的模型拟合曲线与试验曲线对比图，从图中可以看出，模型拟合曲线与试验曲线吻合较好，模型拟合曲线既反映了粉砂质泥岩第1阶段的衰减蠕变特性以及第2阶段的稳定蠕变特性，又反映了第3阶段的加速蠕变特性。由此可见，非线性 Burgers模型可以准确地描述粉砂质泥岩在破裂应力水平下的蠕变力学特性。

表3 以轴向应变和径向应变辨识得到的非线性Burgers模型参数 (σ1-σ3= 19.8 MPa)Table3 Parameter values of nonlinear Burgers creep model identified by axial and radial strains

图6 破裂应力水平下岩石蠕变试验曲线与模型拟合曲线Fig.6 Comparisons between creep curve and theoretical curve under failure stress level

5 岩石蠕变模型参数选取研究

粉砂质泥岩蠕变模型参数辨识结果表明，在同一级应力水平下试样轴向与径向的模型参数各自独立并不统一，如表1、3所示，模型参数取值时应考虑岩石蠕变所具有的各向异性特点。

依据文献[11]中得出的岩石蠕变规律，结合岩石轴向与径向模型参数的变化规律，本次蠕变试验中，在前7级应力水平下，试样轴向的蠕变量、稳态蠕变速率均大于径向，模型参数应取以轴向应变辨识得到的Burgers模型参数；在第8级应力水平下，即破坏前一级应力水平下，试样径向的蠕变量、稳态蠕变速率均大于轴向，模型参数应取以径向应变辨识得到的 Burgers模型参数；在破裂应力水平下，试样径向蠕变比轴向蠕变先进入加速蠕变阶段，且径向的初始蠕变速率、稳态蠕变速率以及加速蠕变速率均高于轴向相应的蠕变速率，模型参数应取以径向应变辨识得到的非线性 Burgers模型参数。蠕变模型参数取值时考虑岩石蠕变的各向异性以及轴向与径向蠕变量、蠕变速率大小的差异，这对于岩石工程的长期安全与稳定评价是更合理的。

6 结 论

（1）选取 Burgers模型来描述粉砂质泥岩的线性黏弹性蠕变特性，对比模型拟合曲线和试验曲线，二者吻合较好，表明 Burgers模型可以准确地描述粉砂质泥岩的衰减蠕变与稳定蠕变特性。

（2）依据Burgers模型参数所反映的物理意义，表明岩石径向的瞬时弹性变形模量较轴向大；除第1级应力水平外，在其他各级应力水平下，轴向蠕变达到稳定蠕变阶段所需的时间要较径向蠕变所需的时间长；在前7级应力水平下，轴向稳态蠕变速率大于径向稳态蠕变速率，而在第8级应力水平下，也即破坏前一级应力水平下，径向稳态蠕变速率大于轴向稳态蠕变速率。

（3）引入非线性黏塑性元件，将其与 Burgers模型串联起来，建立一个新的六元件非线性黏弹塑性 Burgers蠕变本构模型。模型拟合结果表明，该模型可以准确的描述粉砂质泥岩在破裂应力水平下的蠕变力学特性。

（4）粉砂质泥岩的蠕变具有各向异性的特点，在同一级应力水平下轴向与径向的蠕变模型参数各自独立并不统一，模型参数取值时应考虑岩石蠕变的各向异性以及轴向与径向蠕变量、蠕变速率大小的差异。

（5）在前7级应力水平下，试样轴向的蠕变量、稳态蠕变速率均大于径向，模型参数应取以轴向应变辨识得到的Burgers模型参数；在第8级应力水平下，即破坏前一级应力水平下，试样径向的蠕变量、稳态蠕变速率均大于轴向，模型参数应取以径向应变辨识得到的 Burgers模型参数；在破裂应力水平下，试样径向蠕变比轴向蠕变先进入加速蠕变阶段，且径向的初始蠕变速率、稳态蠕变速率以及加速蠕变速率均高于轴向相应的蠕变速率，模型参数应取以径向应变辨识得到的非线性 Burgers模型参数。

[1]孙钧. 岩土材料流变及其工程应用[M]. 北京: 中国建筑工业出版社,1999.

[2]徐卫亚,杨圣奇,谢守益,等. 绿片岩三轴流变力学特性的研究(II): 模型分析[J]. 岩土力学,2005,26(5): 693－698.XU Wei-ya,YANG Sheng-qi,XIE Shou-yi,et al.Investigation on triaxial rheological mechanical properties of greenschist specimen(II): Model analysis[J].Rock and Soil Mechanics,2005,26(5): 693－698.

[3]刘江,杨春和,吴文,等. 盐岩蠕变特性和本构关系研究[J]. 岩土力学,2006,27(8): 1267－1271.LIU Jiang,YANG Chun-he,WU Wen,et al. Study of creep characteristics and constitutive relation of rock salt[J]. Rock and Soil Mechanics,2006,27(8): 1267－1271.

[4]贾善坡,陈卫忠,于洪丹,等. 泥岩渗流-应力耦合蠕变损伤模型研究(Ⅰ): 理论模型[J]. 岩土力学,2011,32(9): 2596－2602.JIA Shan-po,CHEN Wei-zhong,YU Hong-dan,et al.Study of hydro-mechanical-damage coupled creep constitutive model of mudstone,Part Ⅰ: Theoretical model[J]. Rock and Soil Mechanics,2011,32(9): 2596－2602.

[5]阎岩,王思敬,王恩志. 基于西原模型的变参数蠕变方程[J]. 岩土力学,2010,31(10): 3025－3035.YAN Yan,WANG Si-jing,WANG En-zhi. Creep equation of variable parameters based on Nishihara model[J].Rock and Soil Mechanics,2010,31(10): 3025－3035.

[6]丁志坤,吕爱钟. 岩石黏弹性非定常蠕变方程的参数辨识[J]. 岩土力学,2004,25(增刊): 37－40.DING Zhi-kun,LÜ Ai-zhong. Parameter identification of non-stationary creep equation of rocks[J]. Rock and Soil Mechanics,2004,25(Supp.): 37－40.

[7]徐卫亚,杨圣奇,褚卫江. 岩石非线性黏弹塑性流变模型(河海模型)及其应用[J]. 岩石力学与工程学报,2006,25(3): 433－447.XU Wei-ya,YANG Sheng-qi,CHU Wei-jiang. Nonlinear viscoelasto-plastic rheological model (Hohai model) of rock and its engineering application[J]. Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering,2006,25(3): 433－447.

[8]陈晓斌,张家生,封志鹏. 红砂岩粗粒土流变工程特性试验研究[J]. 岩石力学与工程学报,2007,26(3): 601－607.CHEN Xiao-bin,ZHANG Jia-sheng,FENG Zhi-peng.Experimental study of rheological engineering properties of coarsely granular red sandstone soil[J]. Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering,2007,26(3): 601－607.

[9]李剑光,王永岩,王皓. 深部岩体多孔介质流变模型的研究[J]. 岩土力学,2008,29(9): 2355－2359.LI Jian-guang,WANG Yong-yan,WANG Hao. Study of rheological model of porous medium of deep rock[J].Rock and Soil Mechanics,2008,29(9): 2355－2359.

[10]蒋昱州,张明鸣,李良权. 岩石非线性黏弹塑性蠕变模型研究及其参数识别[J]. 岩石力学与工程学报,2008,27(4): 832－839.JIANG Yu-zhou,ZHANG Ming-ming,LI Liang-quan.Study of nonlinear viscoelasto-plastic creep model of rock and its parameter identification[J]. Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering,2008,27(4): 832－839.

[11]李亚丽. 三轴压缩下粉砂质泥岩蠕变力学特性试验研究[J]. 四川大学学报(工程科学版),2012,44(增刊1): 11－16.LI Ya-li. Experimental study of creep properties of silty mudstone under triaxial compression[J]. Journal of Sichuan University(Engineering Science Edition),2012,44(Supp.1): 11－16.

[12]李鹏,刘建,朱杰兵,等. 软弱结构面剪切蠕变特性与含水率关系研究[J]. 岩土力学,2008,29(7): 1865－1871.LI Peng,LIU Jian,ZHU Jie-bing,et al. Research on effects of water content on shear creep behavior of weak structural plane of sandstone[J]. Rock and Soil Mechanics,2008,29(7): 1865－1871.

[13]熊良宵,杨林德,张尧,等. 锦屏二级水电站绿片岩双轴压缩蠕变特性试验研究[J]. 岩石力学与工程学报,2008,27(增刊 2): 3928－3934.XIONG Liang-xiao,YANG Lin-de,ZHANG Yao,et al.Experimental study of creep behaviors of greenschist specimen from Jinping Ⅱ hydropower station under biaxial compression[J]. Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering,2008,27(Supp. 2): 3928－3934.

[14]谌文武,原鹏博,刘小伟. 分级加载条件下红层软岩蠕变特性试验研究[J]. 岩石力学与工程学报,2009,28(增刊1): 3076－3081.CHEN Wen-wu,YUAN Peng-bo,LIU Xiao-wei. Study of creep properties of red-bed soft rock under step load[J].Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering,2009,28(Supp.1): 3076－3081.

[15]刘雄. 岩石流变学概论[M]. 北京: 地质出版社,1994.

[16]朱杰兵,汪斌,邬爱清. 锦屏水电站绿砂岩三轴卸荷流变试验及非线性损伤蠕变本构模型研究[J]. 岩石力学与工程学报,2010,29(3): 528－534.ZHU Jie-bing,WANG Bin,WU Ai-qing. Study of unloading triaxial rheological tests and its nonlinear damage constitutive model of Jinping Hydropower Station green sandstone[J]. Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering,2010,29(3): 528－534.