软弱夹层对深水采油管柱地震反应的影响

朱幸科，王立忠，国 振，袁 峰

（1.浙江大学 岩土工程研究所，杭州 310058；2.中交四航工程研究院有限公司，广州 510230）

1 引 言

深海的地质环境较为复杂，浅部土层多为软弱的黏性土和砂性土，强度较低，下部为硬黏土层[1]。为了避免固井时因水泥浆密度过大而压破地层，导管一般采用喷射下入而不进行固井[2]，其下入深度一般为30～120 m，主要取决于软土层支撑导管以及后续套管柱的能力。中国南海的深水区已成功应用这一施工工艺[3]。导管的上部连接防喷器组和隔水管，内部可下入表层套管、技术套管和生产套管，各圈层套管以及套管与井壁环空采用水泥进行返充，固结形成水泥环。由于在到达目标层之前要钻穿多套压力及岩性不同的地层，因此，各层套管的下入深度将有所不同，从而形成了变截面的井身结构[4]。

近年来随着中国南海油气资源开发的不断深入，深水钻井的井眼数目日益增多。而南海东部地区在历史上就曾频繁发生过震级M≥6的地震[5]，势必会给采油管柱结构的安全性带来威胁。尤其在导管的下端面部位，极易发生应力集中，一旦造成此处水泥环的破坏，海底的浅层高压油气就会渗入导管内部，沿管壁上升，最终酿成事故。一般来说，海底沉积的第四纪软土层会造成地震动的放大[6－7]，而当一个软弱土层位于海底泥线以下一定深度时，它的地震动响应以及对海底结构物的影响未见公开文献分析。实际海洋工程场地中，软弱夹层的存在还是比较普遍的，地震时极有可能对采油管柱的安全性造成威胁，因此，软弱夹层对采油管柱地震反应的影响是一个非常值得讨论的问题。

回传射线矩阵法是20世纪末Howard和Pao[8－9]提出的一种用于分析平面桁架结构轴向波传播的新方法，该法因计算列式明了、数值结果稳定，为众多学者所推崇。本文假定软弱夹层隐伏于表层软土以下的硬黏土层中，采用回传射线矩阵法对套管柱的地震响应进行分析计算，得到了一些有意义的结论，可供工程实践参考。

2 场地自由场的地震反应

考虑如图 1所示的分层场地自由场的计算模型，假定地震输入为SH波，对整个土层建立总体坐标系 (x,uf)，每一土层界面进行编号J、K、L、M、N，对于任意土层KL，建立局部坐标系 (xKL,)，，原点分别在节点K、L，所有坐标系均为右手系。

图1 自由场计算模型Fig.1 Computation model of free field

假设各土层为黏弹性材料，局部坐标系下可得到任一土层的动力平衡方程[10]

式中：βs=2vGs/ω，表示土体的黏滞阻尼系数，v为土体的阻尼比，ω为地震角频率；Gs为土体剪切模量；uf、ρs分别为土体的水平位移、密度。

式（1）可以在频域内求解，此时可认为各频率ω的位移为稳态反应，即

将式（2）代入式（1），整理后得到

通解为

由此可以得到剪应力幅值的表达式为

式中：Gs*为土体的复剪切模量，Gs*=Gs(1+2v i)。

对于任意节点K，有以下位移和应力幅值的协调关系：

考虑自由场表面自由、底部基岩稳态SH波水平位移输入，有边界条件

式中：Ug=-Ag/ω2表示地震输入位移幅值，Ag为地震最大加速度幅值。

将式（5）、（6）代入式（7），得到

式中：SfK、sfK分别为节点 K处的自由场局部散射系数矩阵和局部震源向量；dfK，afK分别为节点K处的自由场离开波幅值向量和到达波幅值向量。同理，将式（5）、（6）代入式（8），也可得到式（9）的形式。把所有节点的离开波幅值向量和到达波幅值向量分别装配到整体向量df和af中，可得

式中：Sf为自由场整体散射系数矩阵；sf为震源向量。

对于土层 KL，到达波幅值向量的分量与离开波幅值向量的分量之间相差一个相位，它们之间有如下关系[9]：

联立式（10）～（13），得

式中：I为单位矩阵。

将af、df按列向量的形式装配起来，即

并引入置换矩阵Uf，满足

使得f中各元素按节点的顺序装配起来，则称f为自由场源向量。

3 管土系统计算模型的建立

套管柱通过井口与防喷器和管线相连，地震发生时在泥线以下沿管柱轴线会产生连续分布的土作用力。根据土层性质的不同，将土层从上往下划分为表层软土、硬黏土层、软弱夹层、硬黏土层。实际工程中，由于导管的底部截面积较小，其管端阻力对导管承载力影响很小，主要靠管壁和周围土的侧摩阻力来承载防喷器和内部套管重量[11]，因此，为便于分析讨论，可假定表层软土的厚度即为导管的下入深度。假设土层为黏弹性介质，用弹簧和阻尼器来模拟，考虑到分层土中若忽略管柱的剪切变形会带来较大误差，故将套管柱假定为变截面的Timoshenko梁，取微元段dx进行受力分析，如图2所示。

图2 套管柱计算模型Fig.2 Computaion model of casing string

对应自由场每一土层建立管柱单元的总体坐标系(x,u)和局部坐标系 (xKL,uKL)，(xLK,uLK)，同时考虑弯曲变形、剪切变形和弯曲变形引起的转动惯量的影响，根据经典的Timoshenko梁理论，对任一管柱单元KL建立动力平衡方程[12]：

式中：K=∑κ GnAn，M=∑ρnAn，I=∑EnIn，R=∑ρnIn，K、M、I、R分别为组合管柱单元的等效剪切刚度、等效单位质量、等效抗弯刚度、等效转动刚度；An、ρn、Gn、En、In分别为各圈层套管单元（或水泥环单元）的截面面积、密度、剪切模量、弹性模量和对中性轴的惯性矩；κ为组合管柱截面剪切修正因子；up、ub、us分别为组合套管柱的总体变形，弯曲变形和剪切变形。

k、c分别为土体的弹簧系数和阻尼系数，k+i cω成Winkler地基水平局部阻抗函数。根据Gazetas[13]得到的频率相关的近似弹簧系数和阻尼系数的表达式，管柱结构顶部自由且土体泊松比μ=0.4时，有

式中：dp、Es、cs分别为管柱外径、土体的弹性模量和剪切波速。

式（18）可在频域内求解，其通解可以写成

将式（21）代入式（18），化简得到

令cp=，φ=cs2/cp2，χ=x/L，λ=ωL/cs，β=kL2/(M cs2)，α=cL/(M cs)，η=Rcs2/I，ξ=KL2/(R cs2)，代入式（22），得

令γ=β+iλ α-λ2，根据式（19）、（21），对式（23）进行化简，消去Up、Ub，得到

于是，可以求得组合套管柱任意截面的转角θ(χ,λ)、弯矩M(χ,λ)、剪力Q(χ,λ)为

4 平衡条件与相容条件

对于套管柱任意节点K，有以下平衡条件和相容条件：

考虑套管柱顶部自由、底部固定的边界条件，有

式中：Mt为防喷器的质量；Ug为地震输入位移幅值，参见自由场边界条件。

5 回传射线矩阵的建立

将式（25）、（31）代入式（32），得

式中：SK、sK、fK分别为节点K处的局部回传散射系数矩阵，局部自由场源系数矩阵和局部自由场源向量；dK、aK分别为K节点的离开波幅值向量和到达波幅值向量。

把所有节点的离开波幅值向量和到达波幅值向量分别装配到整体向量d和a中，得

式中：S、s、f分别为管土系统的整体散射系数矩阵、整体自由场源系数矩阵、自由场源向量。

参照自由场的推导列式（11），对于任一管柱单元 KL，可以得出到达波幅值向量与离开波幅值向量的关系式：

将 aKL按式中的整体向量a的顺序装配起来，得到

将式（39）、（40）代入式（36），得

式中：R=SPU，称为回传射线矩阵；I为单位矩阵。

又由式（39）、（40）得

至此，建立了整个套管柱的回传射线矩阵。将式（41）、（42）分别代入式（25）、（26）、（31），可以得到相应的管柱任意截面的位移、转角、弯矩和剪力幅值的表达式。

6 计算分析实例

计算取南海某深水井导管的长度为95 m，恰好穿过海底的浅部软土层。其上部连接重为30 t的防喷器组，下部即为含有软弱夹层的硬黏土层，厚度为105 m，其中夹层厚度为5 m。各土层的分布及编号参见图 2。导管内部依次为表层套管、技术套管、生产套管，其间采用水泥返充，见图3。

图3 组合管柱结构剖面图Fig.3 Cross-section model of casing string

表1 套管几何参数Table1 Geometric parameters of casing string

表2 套管和水泥环力学参数Table2 Mechanical parameters of casing string and cement

表3 套管柱等效刚度系数Table3 Equivalent stiffness coefficients of casing string

取地震最大加速度幅值为 0.5 m/s2，土层底部基岩稳态SH波位移输入，参见图2。

下面分别从软弱夹层的剪切波速和厚度的角度，分析其对套管柱在各土层界面处弯矩和剪力幅值的影响。由于 J、K截面同为软弱夹层上覆土层界面，软弱夹层对其影响规律类似。同理弱弱夹层对其上下界面（L、M）的影响规律也类似，为使结论分析简洁明了，本文仅对K、L界面处管柱的弯矩和剪力幅值进行分析。计算时采用回传射线矩阵法，为便于规律的揭示，纵坐标采用对数坐标，其结果见图4～7。

6.1 夹层剪切波速对套管柱地震反应的影响

在上述计算理论的基础上，考虑厚度为5 m，埋深145 m的软弱夹层取不同剪切波速时套管柱在K、L土层界面处弯矩和剪力幅值的影响。为此，分别对剪切波速为60、90、120、150 m/s的软弱夹层进行了分析计算，各土层参数由表4给定。

计算得到的K、L截面处套管柱的弯矩和剪力频谱曲线在不同夹层剪切波速条件下的对比关系如图4、5所示。

由图4(a)、4(c)可见，软弱夹层的剪切波速在低频段对K截面处的弯矩和剪力幅值影响较小。为更直观地展现其影响规律，另绘得弯矩和剪力频谱曲线最大值随剪切波速关系曲线，如图 4(b)、4(d)所示。可以看出，当剪切波速从150 m/s减小到60 m/s时，管柱弯矩将从9749 kN·m增加到9890 kN·m，剪力将从3630 kN增加到3855 kN，即K截面处管柱的弯矩和剪力在低频段将随着剪切波速的减小而逐渐增大；对于中高频段，则呈现相反的规律，这表明，软弱夹层在低频段会增强土层对地震波的放大效应，高频段则相反。K截面为软硬土层交界面，同时也是导管的下端面，地震发生时此处最可能发生应力集中，进而破坏水泥环和套管的接触性，造成浅层油气沿管壁泄漏。因此，工程中应避免导管下至软硬土层界面处。

由图5可以发现，软弱夹层的剪切波速对夹层界面处套管柱弯矩和剪力的影响非常显著，并且在整个频段呈现相同的规律：随着软弱夹层剪切波速的减小，夹层截面处的弯矩和剪力相应增大。剪切波速可以表征土的软硬程度，剪切波速越小，表示土层越软弱，则土体的弹性模量越小，相应弹簧刚度系数也越小，导致软弱夹层与相邻土层对套管柱的作用力相差越大，从而使得套管柱在夹层界面上产生很大的弯矩和剪力。

6.2 夹层厚度对套管柱地震反应的影响

接下来考虑厚度不同的软弱夹层对套管柱在K、L土层界面处弯矩和剪力幅值的影响。取软弱夹层的剪切波速为90 m/s，埋深为145 m，分别对夹层厚度为0.1、1、5、10 m时的模型进行计算。各土层参数参见表5。

图4 软弱夹层剪切波速对K截面处管柱弯矩和剪力幅值的影响Fig.4 Influences of soft interlayer shear wave velocity on bending moment and shear force of casing string at section K

图5 软弱夹层剪切波速对L截面处管柱弯矩和剪力幅值的影响Fig.5 Influences of soft interlayer shear wave velocity on bending moment and shear force of casing string at section L

图6 软弱夹层厚度对K截面处管柱弯矩和剪力幅值的影响Fig.6 Influences of soft interlayer thickness on bending moment and shear force of casing string at section K

图7 软弱夹层厚度对L截面处管柱弯矩和剪力幅值的影响Fig.7 Influences of soft interlayer thickness on bending moment and shear force of casing string at section L

表4 软弱夹层剪切波速不同时模型土层参数Table4 Soil parameters with various shear wave velocities of soft interlayers

表5 软弱夹层厚度不同时模型土层参数Table5 Soil parameters with various thicknesses of soft interlayers

由图6可以看出，软弱夹层的厚度对K截面处管柱的弯矩和剪力幅值在低频段影响较小，图6(b)反映了管柱在K截面最大弯矩和剪力幅值在低频段随夹层土厚度变化趋势，可见，随着软弱夹层厚度的增大，K截面的弯矩和剪力幅值相应增大；在中高频段则规律相反。这与软弱夹层在低频段增强土层对地震波的放大效应、中高频段削弱土层对地震波的放大效应的规律是吻合的。

计算得到的套管柱在L土层界面处的弯矩和剪力幅值频谱曲线如图7(a)、7(c)所示，为了能更直观地反映夹层界面处最大弯矩和剪力幅值随夹层厚度的变化规律，另绘得图 7(b)、7(d)。可以看出，软弱夹层厚度的变化对管柱L截面处剪力和弯矩幅值的影响表现出类似的规律，当夹层的厚度较小时，随着夹层厚度的减小，L、M截面的剪力相应减小，当hLM→0，此时软弱夹层的影响已可忽略不计。当夹层厚度较大时，此时由于夹层厚度的增大，使得整个基岩上覆土层对地震波的放大效应减弱，从而使得L、M截面的剪力幅值相应减小。夹层界面处套管柱的弯矩则随着夹层厚度的增大而增大，最终趋于稳定。

7 结 论

（1）首次将回传射线矩阵法应用于海洋工程中套管柱的地震响应分析，建立了典型土层分布条件下套管柱与土相互作用的力学模型，基于经典的Timoshenko梁理论，推导出整个管柱的回传射线矩阵和所有截面的剪应变幅值向量，讨论了软弱夹层的剪切波速和厚度对套管柱在各土层交界面处弯矩和剪力幅值的影响。

（2）土层交界面处套管柱的弯矩和剪力主要受两侧土体的相对刚度控制，软弱夹层对表层软土与硬黏土层交界面处套管柱的弯矩和剪力的影响规律与井口处类似。本模型中假定导管下至此土层界面，计算结果表明，地震发生时套管柱会在此处产生很大的弯矩和剪力，极易引起应力集中，从而破坏此处水泥环的密封性，加之软弱夹层在低频段会增强土层对地震波的放大效应，因此，工程中应尽量避免导管的下端面与此处土层界面接触。

（3）软弱夹层上、下界面处套管柱的弯矩和剪力变化表现出类似的规律：随着软弱夹层剪切波速的减小，夹层界面处管柱弯矩和剪力幅值逐渐增大。当软弱夹层的厚度h变化时，则存在一临界值hcr，当h＜hcr时，界面处剪力幅值将随着夹层厚度的增大而增大；当夹层厚度 h＞hcr时，界面处剪力幅值将随着夹层厚度的增加而减小。

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