一种新的岩石非线性黏弹塑性流变模型

宋勇军，雷胜友，韩铁林

（1.长安大学 公路学院，西安 710064；2.西京学院 工程技术系，西安 710123；3.西安理工大学 岩土工程研究所，西安 710048）

1 引 言

近年来，随着工程建设规模的不断发展，岩石的流变问题越来越突出，迫切需要建立岩石非线性流变模型，以模拟岩石全部3个阶段的蠕变破坏过程[1]。许多研究者在这方面进行了大量的研究，从现象流变学的角度建立了众多流变模型，根据经典的线性基本力学元件建立多参数组合流变模型，并在线性流变模型的基础上通过引入非线性力学元件建立非线性流变模型[2－10]，为了更好地拟合试验结果，有的模型使用了多个元件，这样的做法虽然达到了较好的拟合效果，但却增加了参数的个数。因此，得到参数少、效果好的模型已成为很多研究者追求的目标。殷德顺等[11]利用分数阶微积分理论，提出一种软体元件，用来模拟介于理想固体和流体之间的岩土材料，该元件能够很好地反映蠕变现象的非线性渐变过程。然而，基于分数阶微积分理论的软体元件和经典的线性力学元件的组合模型虽能够描述岩石初始蠕变和稳定蠕变的非线性行为，却不能刻画岩石的加速蠕变特性。基于以上认识，本文尝试将非线性黏性元件和基于分数阶微积分理论的软体元件结合起来，建立一个参数较少、又能全面反映蠕变3阶段的非线性流变模型，并用建立的流变模型对蠕变试验结果进行拟合，验证模型的适用性。

2 含分数阶微积分的软体元件

大多数岩石都具有明显的流变特性。它像固体一样具有一定刚度，同时又像流体一样可以流动。在低应力水平下岩石流变常表现为黏弹性特性，常用的黏弹性模型是将弹簧元件和黏性元件进行串并联组合来反映岩石流变的黏弹性特征，如Maxwell模型、广义Kelvin模型和Burgers模型等，然而弹簧元件是理想固体模型，黏性元件是理想流体模型，要想更好地拟合试验结果，就要采用较多的力学元件。含分数阶微积分的软体元件被认为是介于理想固体和流体之间的一种元件模型，能够很好地反映岩土材料的黏弹性特征[11－12]。分数阶微积分有很多定义，本文采用Riemann-Liouville 型分数阶微积分算子理论，对于函数f(t)的β阶积分定义为

分数阶微分定义为

式中：β＞0，且n-1＜β≤n（n为正整数）；Γ(β)为Gamma函数，其定义为

分数阶微积分的Laplace变换公式为

众所周知，理想固体的应力-应变关系满足虎克定律σ(t)-ε(t)，理想流体满足牛顿黏性定律：σ(t)-d1ε(t)/dt1，如果将σ(t)-ε(t)改写为σ(t)-d0ε(t)/dt0，则有充分理由认为介于理想固体和理想流体之间的岩土材料应该有

殷德顺等[11]将满足式（5）的力学元件定义为软体元件，郭佳奇等[13]将其命名为FC元件。式（5）中β和ξ均为常数（对于某种材料而言），β为分数阶微分的阶数，当β=0时，该软体元件就是弹簧元件，代表理想固体；当β=1时，该软体元件就变成黏性元件，代表理想流体。式（5）不仅包含了理想固体和理想流体，而且刻画了处于它们之间的其他材料。ξ为黏弹性系数，类似于虎克定律中的弹性模量，需要注意到的是，ξ量纲为[应力·时间β]。

当σ(t)=常数，即应力不变的情况下，元件将描述蠕变现象，对式（5）两边进行分数阶积分，根据Riemann-Liouville型分数阶微积分算子理论，可得FC元件的蠕变方程为

式中：σ0为初始恒定应力。同理，当ε(t)=常数时，FC元件将描述应力松弛，经过推导可得松弛方程为

式中：ε0为对应于初始应力的初始应变。对于不同材料，可通过调整 FC元件的参数β、ξ，改变蠕变曲线或松弛曲线的线型，从而精确拟合材料的试验结果，使它更真实地体现材料的蠕变特性。

3 非线性黏塑性体

岩石在较高应力水平下大多表现为黏塑性加速流变特征，经典的线性元件组合模型不能描述岩石的加速蠕变特性。为此，建立新的非线性黏弹塑性流变模型必须能够反映岩石蠕变的这一特点，常用幂函数[4,8,14]黏塑性体来描述岩石加速蠕变阶段变形随时间的变化关系。相应的蠕变方程为

式中：n为蠕变指数，反映岩石加速蠕变速率的快慢程度；σs为岩石的长期强度，可通过试验确定；t0为参考时间，这里设定为1；H(σ)为Heaviside单位阶跃函数，其表达式为

4 非线性流变模型

岩石流变往往是弹性、黏性、塑性、黏弹性和黏塑性等多种变形共存的一个复杂过程。为了清楚地描述岩石蠕变全过程，充分体现岩石蠕变非线性渐变过程和加速蠕变特性，本文采用四元件流变模型，用弹簧元件反映岩石的瞬时弹性特性，用 FC元件反映黏弹性特性，用幂函数黏塑性体反映加速蠕变的黏塑性特性，如图1所示，相应的蠕变模型状态方程为

图1 岩石非线性黏弹塑性流变模型Fig.1 Nonlinear viscoelasto-plastic rheological model of rock

以上两式中：σ和ε分别为模型总的应力和应变；σ1、σ2和σ3分别为第1、2和3部分的应力；ε1、ε2和ε3分别为第1、2和3部分的应变；E和η分别为材料的弹性和黏性参数；ξ为黏弹性系数；β为分数阶微分的阶数。

对上述各等式分别进行Laplace变换，然后整理再进行 Laplace逆变换，可得非线性模型的流变本构方程为

根据以上两式，利用初始条件t=0、σ=σ0可求得蠕变方程为

5 非线性流变模型理论曲线与试验验证

结合本文提出的四元件非线性模型，给出在不同参数情况下的蠕变理论曲线，并根据徐卫亚等[2－3]文中三轴蠕变试验数据，利用本文非线性流变模型与徐卫亚等[4]文中的非线性黏弹塑性流变模型进行比较分析，验证该模型的适用性。

当 σ0≤σs时，当前应力不大于岩石的长期强度，岩石的蠕变趋于稳定，不会出现加速蠕变阶段，幂函数黏塑性体不参与工作。根据式（14），将弹、黏性参数取为定值，β值取为变量得到的岩石蠕变理论曲线如图2所示。可以看出，随着β值的逐渐增大，岩石表现出逐渐增强的蠕变特性。当β趋近于0时，FC元件接近理想弹性体，模型为两个弹簧元件串联，实质仍为虎克体；当β逐渐增大趋近于1时，FC元件接近理想流体，模型为Maxwell模型。岩石的岩性不同，其蠕变特性也会出现差异。硬岩一般只具有微弱的蠕变特性，接近于理想弹性体，可用较小的β值进行模拟；软岩具有较明显的蠕变特性，则可用较大的β值进行模拟。

图2 低应力条件下的蠕变曲线Fig.2 Creep curves in low stress conditions

当σ0＞σs时，岩石经历初始蠕变、稳定蠕变后进入加速蠕变阶段，幂函数黏塑性体开始参与工作。根据式（15）得到的蠕变理论曲线如图3所示。通过调整蠕变指数n值的大小，可用于描述岩石在加速流变阶段的蠕变速率的快慢程度。

根据徐卫亚等[2－3]文中利用岩石全自动流变伺服仪得到的锦屏一级水电站绿片岩典型三轴流变试验数据，分别利用本文提出的非线性流变模型与徐卫亚等[4]文中的五元件广义Kelvin模型与幂函数黏塑性体串联而成的非线性黏弹塑性流变模型（河海模型）进行比较研究，结果见图 4，所用模型参数见表1。

本文模型为四元件模型，通过图4的拟合结果可以发现，与七元件河海模型相比，拟合程度基本一致，说明FC元件、弹簧元件与幂函数黏塑性体相结合的非线性组合流变模型能有效地描述岩石的3阶段蠕变特性，从而在拟合蠕变试验规律时，在效果相同的情况下，应用本模型可达到减少模型参数的目的。

图3 高应力条件下的蠕变曲线Fig.3 Creep curves in high stress conditions

图4 绿片岩蠕变全程曲线Fig.4 Creep curves of greenschist specimen

表1 模型参数Table1 Parameters of models

6 结 论

（1）根据分数阶微积分理论，将含分数阶导数的软体元件（FC元件）与弹簧元件串联，结合一个幂函数黏塑性体，提出一种新的非线性黏弹塑性流变模型，并给出该模型的本构方程和蠕变方程。

（2）绘制不同应力条件下非线性流变模型的理论曲线。岩石稳定蠕变速率的快慢程度可通过调整分数阶微分阶数β值的大小进行有效地拟合，加速蠕变阶段的蠕变速率变化则可通过调整蠕变指数n值进行模拟。在较低应力水平时，非线性蠕变模型能够描述材料的初始蠕变和稳定蠕变；当应力水平超过材料的长期强度时，模型能够反映加速蠕变特性。

（3）利用本模型对三轴蠕变试验数据拟合的结果表明，含有软体元件和幂函数黏塑性体的非线性流变组合模型能够有效地描述岩石的3阶段蠕变特性，从而减少了组合模型中的元件个数和模型参数。

（4）含软体元件和幂函数黏塑性体的岩石非线性流变模型拟合效果好、模型参数少，为研究各类岩石蠕变现象提供了一种新的途径。然而，该模型对于岩石应力松弛的适用性尚需要进一步的理论研究和实践检验，这也是今后要研究的重要课题。

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