“正难则反”思想

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(绍兴市第一中学 浙江绍兴 312000)

“正难则反”思想

●虞金龙

(绍兴市第一中学 浙江绍兴 312000)

在近几年的高考试题中，“正难则反”思想屡见不鲜，一些数学高考题的证明常常会用到反证法,选择正确便捷的逆向思路来解答是每个学生面临的难题.解题时应时刻明确:解题的最终目的是什么,如何运用各种手段直接达到目的.要尽量避免盲目推理而造成循环运算，“正难则反”是解决此类问题的一个好办法.本文主要探究“正难则反”思想在高考中的应用.

1 正难则反——巧用等价命题

例1函数f(x)的定义域为A，若x1,x2∈A且f(x1)=f(x2)时总有x1=x2，则称f(x)为单函数．例如，函数f(x)=2x+1(x∈R)是单函数．下列命题：

①函数f(x)=x2(x∈R)是单函数；

②若f(x)为单函数，x1,x2∈A且x1≠x2，则f(x1)≠f(x2)；

③若f：A→B为单函数，则对于任意b∈B，它至多有一个原象；

④函数f(x)在某区间上具有单调性，则f(x)一定是单函数．

其中的真命题是____________(写出所有真命题的编号).

(2011年四川省数学高考理科试题)

分析对于命题①，若f(x1)=f(x2)，则x1=±x2，不满足单函数的定义；命题②实际上是单函数命题的逆否命题，故为真命题；对于命题③，若任意b∈B，b有2个及以上的原象，也即当f(x1)=f(x2)时，不一定有x1=x2，不满足题设，故该命题为真；根据定义，命题④不满足条件．

评注命题②实际上是单函数命题的逆否命题，因此利用等价命题可知命题②为真命题.

例2若直线l不平行于平面α，且l⊄α，则

( )

A.α内的直线都与l异面

B.α内不存在与l平行的直线

C．α内存在唯一的直线与l平行

D．α内的直线与l都相交

(2011年浙江省数学高考文科试题)

分析在平面α内存在直线与l相交，故A不正确；若α存在直线与l平行，因为l⊄α，则有l∥α，与题设矛盾，所以B正确，C不正确；……