四法并举 彰显活力
——2012年浙江省数学高考理科第17题赏析

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(鲁迅中学 浙江绍兴 312000)

四法并举彰显活力
——2012年浙江省数学高考理科第17题赏析

●陆立峰

(鲁迅中学 浙江绍兴 312000)

2012年浙江省数学高考试题依然秉承了“起点低、坡度缓、层次多、区分好”的鲜明特色，其中又不乏一些适度创新、题小意深的经典之作.本文就以理科第17题为例进行解法探求和赏析.

例1设a∈R，若x>0时均有[(a-1)x-1](x2-ax-1)≥0，则a=________.

(2012年浙江省数学高考理科试题)

1 解法探索

解法1根轴法

由题意分析可得a>1，则原不等式可转化为

其中x1,x2是方程x2-ax-1=0一正一负的2个根.不妨设x1<0,x2>0，由三次不等式穿根法可知，要使得对一切x>0时均有

[(a-1)x-1](x2-ax-1)≥0

点评根轴法是简单高次不等式中的基本方法.由题意对一切x>0不等式均成立，说明正根x2为重根，此法解题也是水到渠成的事情.

解法2数形结合

本题按照一般思路，则可分为以下2种情况

受经验的影响，很多学生认为本题可能是错题或者解不出本题.其实在x>0的整个区间上，可将其分成2个区间，在各自的区间内恒正或恒负,如图1所示.

图1

解得

解法3变换主元

把a看作主元，则原不等式可化为

(xa-x-1)(-xa+x2-1)≥0，

进一步可整理为

即

当x=2时，原不等式化为

因此

即

点评变换主元，看成关于a的二次不等式是个大胆的想法，此想法能否实现需要扎实的基本功.经过转换后就变成含参不等式的解法，过程有点繁琐，属于小题大做.但在解题过程中，往往会得到下面的简便方法.

解法4特殊法

把a看作主元，则原不等式可化为

(xa-x-1)(-xa+x2-1)≥0，

进一步可整理为

故

点评解法4一时难以捕捉，但在分析解答过程和求解的结果来看，这是……