带有推广的反周期边值条件的脉冲分数阶微分方程解的存在性

杨丹丹

(淮阴师范学院 数学科学学院, 江苏 淮安 223300)

带有推广的反周期边值条件的脉冲分数阶微分方程解的存在性

杨丹丹

(淮阴师范学院 数学科学学院, 江苏 淮安 223300)

研究了带有推广的反周期边值条件的分数阶脉冲微分方程,给出了其解的存在性定理,利用的主要工具是Krasnosel'skii不动点定理.

脉冲分数阶微分方程; Caputo导数; 解的存在性; 不动点

0 引言

本文主要研究以下带有推广的反周期边值条件的脉冲分数阶微分方程:

(1)

(2)

ay(0)+by(1)=0,ay′(0)+by′(1)=0

(3)

分数阶微分方程的计算理论最早可以追溯到17世纪,它将常微分和积分推广到任意非整数阶.分数阶微分方程在一些数学模型,物理现象分析,化学技术,动力人口学,生物化学,神经网络等很多学科都有广泛的应用.比较经典的有Samko等人[1]与Podlubny的专著[2]和EI-Sayed[3]的文献.近年来,分数阶方程的研究主要集中在边值问题和脉冲边值问题.关于分数阶脉冲微分方程解的存在性,唯一性和解的性质已有较多的成果,成为数学研究者关注的热点[4-6].2012年,Li[7]研究了如下问题:

(4)

Δy(tk)=Ik, Δy′(tk)=Jk,k=1,2,…,m

(5)

ay(0)+by(1)=0,ay′(0)+by′(1)=0

(6)

其中Ik,Jk为常数,a≥b>0.受以上研究论文的启发,本文主要研究问题(1)-(3)解的存在性.我们的主要目的是将线性脉冲边值条件(5)推广到非线性情形(2).需要指出的是本文的主要研究方法不同于已有文献[4-7].

1 预备知识

先给出分数阶微分理论的相关概念[1-3].

定义1 函数u:(0,∞)→R的α分数阶积分定义为

其中α>0,Γ是Gamma函数,并且假设等式右端在(0,∞)上逐点有定义.

定义2 函数u:(0,∞)→R的α分数阶导数定义为

其中α>0,n=[α]+1,并且假设等式右端在(0,∞)上逐点有定义……