Kantorovich不等式的推广

燕子宗，代 标 (长江大学信息与数学学院，湖北 荆州 434023)

Kantorovich不等式的推广

燕子宗，代 标 (长江大学信息与数学学院，湖北 荆州 434023)

Kantorovich不等式在许多学科中都有着重要的作用，关于Kantorovich不等式的证明方法和结论也有很多。从均值不等式、Rennie不等式和Schweitzer积分不等式导出了Kantorovich不等式，列举了在没有凸性假定下关于Kantorovich不等式的几个结论，最后得到了关于矩阵代数均值与调和均值的1个有趣结论。

Kantorovich不等式；均值不等式；Rennie不等式；Schweitzer积分不等式；矩阵

Kantorovich不等式在矩阵计算、数理统计和最优化理论与算法等学科中有重要的应用。Kantorovich不等式不仅能从均值不等式和Rennie不等式可以导出，还能够从Schweitzer积分不等式导出，经过一些变换，都可以化成：

(1)

1 Kantorovich不等式的证明

引理1[1](Rennie不等式) 假定m≤γi≤M，i=1,2,…,n，对任意的实数序列{Ui}，有：

(2)

引理2[2]若mgt;0，假定m≤γi≤M，i=1,2,…,n，由均值不等式和Rennie不等式可以得到Kantorovich不等式：

(3)

(4)

其中，0lt;m1≤an≤…≤a1≤M1,0lt;m2≤bn≤…≤b1≤M2。

引理3(Schweitzer积分不等式) 假设φ(t)在区间[a,b]上可积，0lt;m≤φ(t)≤M，则：

(5)

2 没有凸性假定条件Kantorovich不等式的几个结论

(6)

证明由假设知如下不等式成立：

(f(λ1)-f(ti))(f(ti)-f(λn))≥0i=1,2,…,n

将其乘以αi后展开, 对i求和后即可得到不等式(6)。

对式(6)进行简单变形后不难得到如下结果：

定理2在定理1的假定下，若f(λn)gt;0，则：

(7)

(8)

(9)

定理3在X∈Cm×p满足X*X=Ip,Ai∈m×m是Hermitian矩阵且λnI≤Ai≤λ1I，i=1,2,…,k。在定理1的假定下，有：

(10)

定理4在定理3的假定下，若f(λn)gt;0，则：

(11)

(12)

(13)

证明这里仅证明不等式(13)。令：

不等式(11)可以改写为A+f(λ1)f(λn)H≤f(λ1)+f(λn))Ip。另一方面，由于：

3 一个矩阵代数均值与调和均值的结论

(14)

证明由于矩阵:

半正定，因此矩阵:

半正定。对上述矩阵应用Schur互补引理[6]得到左边不等式，右边不等式由式(11)类似可以得出。

[1]Diaz J B， Metcalf F T.Stronger forms of a class of inequalities of G and Kantorovich[J].Bull Amer Math Soc, 1963, 69:415-418.

[2]匡继昌.常用不等式[M].济南……