关于Bowin公式的应用与思考*

张赤军

(中国科学院测量与地球物理研究所，武汉 430077)

关于Bowin公式的应用与思考*

张赤军

(中国科学院测量与地球物理研究所，武汉 430077)

1 Bowin公式的由来与应用

对于地球表面的重力g和大地水准面起伏N，可以用各阶球函数之和来表达［1，2］，而具体的那一阶(n)，可分别用gn和Nn表示，且

将式(1)除以式(2)得:

式中，G为万有引力常数，M为地球质量，R为地球平均半径，ae为地球赤道半径，9.8 ms-2是地球平均重力值，Cnm、Snm为n阶m次地球位球谐系数，可由人造卫星和地面测量资料推算获得，用它们可描述重力场场源物质分布的不规则性，由此人们可对地球物理问题进行解释或推测，Pnm(sinφ)为缔合勒让德多项式。

Bowin认为:若波长为λ，则它可以与某个阶的球函数相联系，并可取近似式λ=2πR/n代替，对于特别低的低阶球函数分量，这些波长如此之大(例如4阶大约是10 000 km)，以至它们对可能引起的场源深度提供有限约束。然而把方程(3)的点质量源和上面测得的g/N联系起来后，就有了比较严格的约束。他还认为在一个点质量的正上方，平坦地球与球形地球的g/N值完全相同，即:

每一阶的等效点质量深度为:

式(5)称为Bowin公式。

由上可见，任何阶的位系数对重力和大地水准面的贡献各自有一定的比值，它能与某一深度(在地球半径的某个分数处)的点质量产生的比值g/N相关。

从式(1)、(2)可知，凡能满足用式(1)描述的场源方程，也都能满足式(2)，只不过一个用n阶球函数的重力方程，而另一个则用n阶球函数的大地水准面的方程，当n一经选定后，它们的比值也就一定，因此式(3)的值随n而变，在对n阶求和后的g (重力)和N(大地水准面)也是定值，归根到底，由于它们属于同一场源。

自Bowin公式发表后即得到了应用，并解释或探讨了一些有关地质地球物理问题，也取得一些有益结果。

其一，可观察的事实是:由4～10阶的大地水准面可反映出核幔的起伏和板块会聚带位置，这是以实验为依据对理论上的一个重要证明。

其二，如果在核幔边界存在巨大的异常质量，则它的贡献有79%在低阶球函数系数(包在2～3阶的在内)，他认为:地球内的十个主要大地水准面异常中就占七个，其中最大幅值是由2～3阶引起的。

其三，对于金星，则与地球的情形不一致，对此，他认为:用低阶项计算的大地水准面显示出表面形状的特征。

文献［4，5］在已知核幔密度差及不考虑其他因素影响前提下，根据Bowin公式探讨了核幔边界的起伏，将之与地震波(PcP)的结果进行比较，两者比较接近。

2 对Bowin公式的评价和所得结果的质疑

Bowin公式的推导是正确的，这是在同一场源条件下取得的，可以用之推求有关问题。Bowin认为这是以实验为依据对理论上的一个重要证明，但以什么样的实验为依据似应补充说明。

第二，是不是扰动位的2、3、4阶项仅仅反映核幔边界密度不均匀分布?如果按文献［4］的解释，它与1987年Morelle等人［5］由PcP所得的结果相差较大。例如前者的最大最小值在1.7km之内，而由层析成像得到的结果在5 km之内，但他于1989年用滤波法得到的结果却为15 km，该值已接近地表地形的结果，这似乎不太可能，不过Buchbinder Geotz G R曾于1968年提出:没有证据表明这一起伏会超过5 km［6］。

第三，近年来查阅若干有关信息，几乎没有发现研究核幔边界起伏的新文章，至于用卫星重力位系数研究地幔密度异常分布的文章也没有见到，不过研究核幔动力学方面则比较多。作者认为:只有当地震数据日益增多之后，通过核幔边界的地震反射和折射波形比较清晰的情况下，才能对核幔边界的形状密度差做出较为明确的结论。当然，在顾及其他因素之后，也需重视扰动重力位在研究核幔起伏中的作用。

第四，Bowin公式在青藏地区并不适用。去年我们在青藏高原大地水准面异常场源效应时，也探讨了异常源的问题，却没有采用Bowin公式，这是因为:当n=100时，如按照公式(5)，可得到离地面的深(厚)度为65 km，这与当今人工地震测深结果相近，而从公式(3)可知，只有当gn和Nn同号时，其比值才为正，可惜在这里却出现了矛盾。因为实际情况是，在青藏高原(有代表意义的中部)的空间异常为正(+20×10-5ms-2左右)，高程异常或大地水准面起伏是负值(-30 m左右)［6，7］。按上述规定，则该值为负，并由此可推得异常质量或异常密度为负，这与实际结果相悖，因为无论从岩石取样或人工地震的数据，都证明青藏高原的地壳不存在低密度层，而低密度层在距地面200 km以下［8］。其原因在于地球内部的各层密度分布不仅不均匀，而且相邻界面之间正负的异常密度，有互相抵消的作用，乃至产生以大的正(值)抵压小(值)或是相反的现象。因此在这种情况下，用地表扰动位(包括重力异常、大地水准面起伏)资料作反演，是不可能得到正确结果的，即使假定内部点的扰动位满足重调和方程，其结果也是不正确的，因为这就意味着地球内部密度呈调和分布，文献［9］已经证明这是不符合实际的理论。

3 用简单的数学模型无法刻画地球的密度

从整体上看，地球内部密度的结构产生在诸多物理因素之中，它包括温度、压力、体积、质量、转动惯量、刚度、弹性等等，因此今天人们试图彻底了解整体地球的密度分布几乎是不可能的。当然，前人通过理论分析、观测和实验，在这方面做了有益的研究和探索［10-12］，至于地球内存在不少径向和侧向密度的界面、纵横交错的断层、空洞，以及内部物质又在不停地运动之中，如用一些简单的数学模型来刻画地球内部密度的三维、四维分布，则更难以想像。现仅用下例来说明:

假定有ρu=ρw-dρ，其中ρw、ρu分别为地球的真实和正常密度，若dρ满足调和分布的条件，即Δdρ=0时，则有［9］:

式中r为一点在球坐标中的向径，θ、λ分别为该点的余纬和经度，R为球的半径，对地球而言，就是它的平均半径，现对上式进行讨论。

众所周知，地球密度ρw的分布极为复杂，r处的ρw分布，可用该面上的球谐函数来表达，当r变化时，面球谐函数也跟着变化;函数Fn(r，θ，λ)的分布与Fn(R，θ，λ)的分布相似，但前者的幅度随r的减小而变小，且随(r/R)n中的n的增高而衰减。对真实地球而言，它的密度ρw，则随r的减小而增大。但Fn(r，θ，λ)随r减小而减小，直至为零。因此对上式中的系数:、无论怎么去选取，仅凭表面上的Fn(r，θ，λ)和(r/R)n的数值，也无法改变(抵消)球内r点处的密度ρw在经度方向上不均匀分布的状态。只有在假设Δdρ=0的条件下，才能得到正常密度在经度方向上存在着不均匀性的分布，这时才有正常引力位与经度相关的结论，不过这与既有的规则或惯用的事实是不符的。因此，Δdρ=0的假设不能成立，且dρ不可能是连续函数。

应当指出，Bowin公式(1)～(5)的推导是正确的，它只是在同一场源情况下推得的，对于多个场源就不可能得到该公式，更为重要的是重力反演存在多解性，因地球表面测得的结果是地球内部众多场源的反映。在一点上不管测多少个扰动位派生出的数据，如位、重力、及其若干阶的导数等，而众多个场源是分解不出来的，当然重力在地球物理解释中的约束作用也不可缺少，因为它从一个侧面反映了地球的总质量，及其平均结果。

4 结语与讨论

1)扰动位、重力异常及它们的各阶导数都属于同一类的重力场资料，只是表现形式不同，而由重力场资料无法取得唯一的反演结果，但它在地球物理解释中可起到约束的作用，它从一个侧面反映了地球物质的总量，及其平均密度等，即使对地球内部给予一些附加条件，也不可能用一个简单的数学模式来描述其内部真实密度的分布。

2)现今人们一般用地球重力位的阶数来研究重力场及其派生物在球面上的分辨率，至于可否用它来划分场源的深度，倒是值得讨论的问题;可否用它来求解核幔的起伏，也需要进一步探讨;而重力场的4-10阶位系数是否与板块汇聚的位置有关也是需要进一步研究的。

待将来地震数据日益增多，核幔边界的反射和折射波形相当清晰且分析方法更为先进的情况下，才能对核幔边界的起伏得出有效而明确的结论。

1 Bowin C.Depth of principal mass anomalies contributing to earths geoid undulations and gravity anomalies［J］.Mains Geodesy，1983，(7):61-101.

2 波威.全球重力图与地球构造，陈维维译，欣兹主编.区域重磁异常图的应用效果［M］.北京:地质出版社1990.(Bowin C.Globe gravity map and it’s construction［M］.SEG Press，1985)

3 石磐，盛空琪.可见重力场信息—地形在重力场研究中的应用［A］.朱灼文，潘显章主编.动力大地测量学进展［C］.北京:地震出版社，1991.(Shi Pan and Sheng Kongqi.The application of terrain information in the inverstigation of the gravity field［A］.Zhu Zhuowen and Pan Xianzhang.Progressing of dynamical geodesy［C］.Beijing: Seismological Press，1991)

4 张赤军，任康.由扰动位确定核幔起伏［A］.朱灼文，潘显章主编:动力大地测量学进展［C］.北京:地震出版社，1991.(Zhang Chijun and Ren Kang.A method for determing depth variation of core-mantle boundary with disturbing potential［A］.Zhu Zhuowen and Pan Xianzhang.Progressing of dynamical geodesy［C］.Beijing:Seismological Press，1991)

5 Morelli A and Deieonskyi A M.Topography of the coremantle boundary and lateral homogeneity of liquid core［J］.Neture，1987，(235):678-683.

6 Buchbinder Geotz G R.Properties of the mantle boundary and observations of PcP［J］.J Geophys Res.，1968，(73):5 901-5 907.

7 张赤军，等.青藏原大地水准面异常的解释与场源效应初探［J］.中国科学(D)，2011，41(8):1 126-1 133.(Zhang Chijun，et al.The interpretation of Qinghai Tibet plateau geoid anomaly and primary research on its field effect sources［J］.Science in China(D)，2011，41(8):1 126-1 133)

8 张赤军，骆鸣津.用地表重力能否推求地球内部密度分布——对统一引力场表示理论的看法［J］.中国科学(D)，2009，39(4):443-447.(Zhang Chijun and Luo Minjin.Can Earth interior density distribution be determined from the gravity on the Earth`s surface［J］.Science in China (D)，2009，39(4):443-447)

9 徐果明，等.中闺西部及其邻域地壳上地幔横波速度结构［J］.地球物理学报，2007，50:(1):193-208.(Xu Guoming，et al.Shear wave velocity structure of the crust and upper mantle in western China and it`s adjacent area［J］.Chinese Geophysics，2007，50(1):193-208)

10 Bullen K E.The Earth’s Density［M］.London:Chapman and Hall，1975.

11 周惠兰.地球内部物理学［M］.北京:地震出版社，1990.(Zhou Huilan.Inner physics of the Earth［M］.Beijing: Seismology Press，1990)

12 Dziewonski A M and Anderson D L.Preliminary reference earth model［J］.Phys.Earth Planet Int.，1981，(11):217 -356.

1671-5942(2012)03-0094-03

2012-04-23

张赤军，男，研究员，从事大地测量与地球重力学研究.E-mail:iggzhangcj@sohu.com