一类高阶中立型泛函微分方程周期解

秦发金,姚晓洁

(广西柳州师范高等专科学校数学与计算机科学系,广西柳州 545004)

一类高阶中立型泛函微分方程周期解

秦发金*,姚晓洁

(广西柳州师范高等专科学校数学与计算机科学系,广西柳州 545004)

利用重合度理论，研究了一类具有偏差变元的高阶中立型泛函微分方程(x(t)+cx(t-σ))(n)+f(x(t-(t)))+g(x(t-γ(t)))=e(t)周期解问题，获得了这类方程存在唯一周期解的新结果，推广和改进了已有的相关结果.

高阶中立型泛函微分方程； 周期解； 存在唯一性； 重合度

为了方便研究，本文引进下面记号:

近年来，关于一阶和二阶微分方程周期解的存在性与唯一性的研究取得了很多结果，比如文献[1]-[7] .文献[7]研究了下面一类具有2个偏差变元的二阶微分方程

x″(t)+f(x(t-(t))+g(x(t-γ(t)))=e(t)

(1)

(x(t)-cx(t-σ))(n)+f(x(t-(t)))+

g(x(t-γ(t)))=e(t)

(2)

周期解的存在性与唯一性，其中n≥2为整数，,γ,eC(,)是连续的T-周期函数，e(t)dt=0,f,gC1(,)且f(b)+g(b)≠e(t),∀t,b，c,σ是常数且|c|≠1.

显然，当c=0，n=2时，方程(2)退化为方程(1).本文利用新的分析技巧和重合度理论，得到了方程(2)周期解存在唯一性的新充分条件.所得结果并不要求′(t)<1，γ′(t)<1，而且与时滞无关，从而推广和改进了文献[7]的结果.

A:Y→Y,(Ax)(t)=x(t)-cx(t-σ),

L:DomL⊂X→Y,Lx=(Ax)(n)，

(3)

定义N:X→Y为

Nx(t)=-f(x(t-(t)))-g(x(t-γ(t)))+e(t).

(4)

引理1[8]如果|c|≠1，则A存在唯一有界连续逆，且满足

定义投影算子P,Q分别为

P:X→KerL,Px=Ax(0),

显然，P和Q为连续算子，ImP=KerL=R,KerQ=ImL=Im(I-Q).定义

LP=L|Dom L∩Ker P:CT∩KerP→ImL,

(5)

这里(Ax)(i)(0) (i=1,2,…,n-1)由方程DZ=B决定，其中

Z=((Ax)(n-1)(0),(Ax)(n-2)(0),…,(Ax)′(0))T,

B=(b1,b2,…,bn-1)T,

(i)Lx≠Nx,∀x∂Ω∩DomL,∀(0,1);

(iii)deg{QN,Ω∩KerL,0}≠0,

(i=1,2,…,m-1),

其中,当m为偶数时

当m为奇数时

其中诸Bm-2s,B2m-4s,Bm-2s-1,B2m-4s-2是伯努数，可由如下递推公式求得

引理5 假设下列条件成立：

证明设x(t)是方程(2)的一个T-周期解，将方程(2)两边从0到T积分得

f(x(ξ-(ξ)))+g(x(ξ-γ(ξ)))=0.

(6)

(7)

若式(7)不成立，则有

(8)

由式(8)可知下列之一必成立：

x(ξ-(ξ))>x(ξ-γ(ξ))>d.

(9)

x(ξ-γ(ξ))>x(ξ-(ξ))>d.

(10)

x(ξ-(ξ))

(11)

x(ξ-γ(ξ))

(12)

如果式(9)成立，则

0

f(x(ξ-(ξ)))+g(x(ξ-γ(ξ))).

这与式(6)相矛盾，意味着式(7)成立.

如果式(10)或式(11)或式(12)成立，则类似证明式(7)成立.

(13)

1 周期解的存在性

定理1 假设条件(H1)……