一类二维差分方程中的混沌现象

戴华炜,程晓胜

(惠州学院 数学系，广东 惠州 516007)

0 引言

在某一些非线性差分方程中，存在着一种有趣的现象——混沌现象。第一个混沌模型是20世纪70年代初美国气象学家Lorenz发现的，之后，混沌现象便引起了学者们的极大关注和研究兴趣。虽然，混沌还没有一个公认的普遍适用的定义，但一般地，将发生在确定性系统中的貌似随机的不规则运动称为混沌[1]，混沌系统具有对初值的敏感性的特征。

差分方程在经济领域、动力系统和生态系统等多方面都有广泛应用[2]。二维差分方程起着从一维到高维的衔接作用，对二维差分方程的混沌研究有助于认识和预测更复杂的高维动力学系统的性态[3]。因而, 对二维差分方程中混沌现象的研究不论在理论上还是在实际应用上都具有重要的意义。

本文将研究一个二维差分方程——宿主-寄生物模型，利用分岔图、 Lyapunov 指数图、时间序列图和相图分析该方程由周期运动到混沌运动的变化过程，研究该方程的混沌现象。

1 二维差分方程——宿主-寄生物模型

生态系统中对于单种群模型已有不少研究，而对种间相互作用的种群模型的研究主要集中在含有两个变量的时间连续的相互作用的Lotka-Volterra种群模型，但Nicholson与Bailey认为Lotka-Volterra种群模型没有考虑种内竞争效应，不适用于离散世代物种，于是建立了以宿主-寄生蜂系统为对象的Nicholson- Bailey模型。种群生态学家又改进Nicholson- Bailey模型，提出了各种离散世代的宿主-寄生物模型[4]。

本文所要研究的二维差分方程如下：