基于蒙特卡洛梯度逼近方法的油藏开发生产优化

曹 琳，赵 辉，喻高明（长江大学石油工程学院，湖北 荆州434023）

基于蒙特卡洛梯度逼近方法的油藏开发生产优化

曹 琳，赵 辉，喻高明（长江大学石油工程学院，湖北 荆州434023）

油藏动态实时生产优化常采用伴随法求解梯度，但计算过程异常复杂，很难得到广泛应用。首次将蒙特卡洛梯度逼近（MCGA）方法引入到油藏生产优化中，该方法计算简单、求解过程不受模拟器的限制，且所得梯度的期望值为目标函数的真实梯度。结合油藏数值模拟技术，在历史拟合基础上应用该方法对某油田单元进行了油水井生产参数（产液速度和注入速度）的优化，结果显示：优化后的生产调控制度有效地改善了水驱开发效果，相比优化前累产油增幅达60%以上，达到了降水增油的目的。

蒙特卡洛法；梯度逼近法；生产优化；最优控制；数值模拟

油藏动态实时生产优化（Real－time production optimization）［1～3］是目前油气田开发工程领域的研究热点，它也是智能油田研究的核心内容之一。开展该技术的研究对于降低油藏开发的不确定性和风险性因素，提高油藏经营管理水平和减小油气开采成本都具有重要理论和应用价值。目前，求解油藏生产优化的核心问题是如何计算目标函数的梯度。由于油藏的动态体系是非常复杂的，要计算解析梯度极为困难。最常用的方法就是采用伴随方法（Adjoint Method）［4，5］进行梯度求解，但是该方法需要编写伴随矩阵嵌入油藏数值模拟计算中，求解过程异常复杂；由于受到模拟器的限制，该方法难以在实际油田开发中得到广泛应用。

Patelli等［6］于2009年提出了一种蒙特卡洛梯度逼近方法（MCGA法），该方法通过生成并计算多个随机控制向量实现的目标函数值来估计原问题的梯度。由于该方法仅需要计算目标函数，因此，易于和各种商业模拟器相结合进行实际生产优化问题的求解，且该方法计算所得梯度的期望值为真实梯度，因而保证了算法的收敛性。笔者在充分分析MCGA方法的基础上，结合油藏数值模拟技术对某油田单元开展了油藏生产参数优化，取得了较好的应用效果。

1 油藏生产性能指标函数

研究油藏开发生产优化问题，需要针对实际情况提出最优控制的性能指标。根据国内外研究，这里采用如下性能指标函数来评价油田开发效果，其表达式为：

式中，F为性能指标函数，主要通过油藏模拟器计算获得，表征了开发期内经济净现值（NPV），元；y为状态变量，表征了流体的状态分布；u为Nu维控制变量，主要包含了油水井在各个控制时间上的注采参数（如注水量、井底压力等）；N为总生产控制时间步；Co为原油销售价格，元/m3；Cw为产水成本价格，元/m3；Cwi为注水成本价格，元/m3为n时刻区块产油速度，m3/d；为n时刻区块产水速度，m3/d；为n时刻区块注水速度，m3/d；a为平均年利率，%；Δtn为n时刻模拟计算时间步，d；tn为n时刻累积计算时间，d。

油藏生产优化就是以当前地下流体的状态分布y为基础，求取性能指标F的最大值及相应的最优控制参数u。根据实际条件，油水井的生产要受到工作能力及设备的限制，即控制变量要满足一定的约束，文中仅考虑最简单的上下边界约束来对指标函数F进行优化。根据最优化原理［7］，求解油藏生产优化的关键是如何计算性能指标F对于控制变量u的梯度。鉴于伴随方法求解梯度过于复杂的局限性，下面将采取MCGA法对梯度进行估计，并通过迭代的方法来优化F。

2 MCGA优化方法

MCGA方法的基本思想是：首先利用蒙特卡洛法在当前最优变量周围生成若干个随机变量的实现，然后分别求取各变量实现所对应的目标函数值，最后利用各实现及其目标函数值来估计目标函数的梯度。

对于油藏生产优化，设第k个迭代步获得的最优控制变量为uk，其对应的性能指标函数为F（uk，y）。根据MCGA方法原理，首先在uk周围生成Nr个控制变量，其表达式为：

式中，uk，j表示第j个控制变量实现；γ为扰动常数；rj为第j个扰动向量，其中的分量一般为符合标准正态分布的变量，即。

将各实现uk，j代入油藏模拟器中，经过计算可求得各自对应的性能指标F（uk，j，y）。设bj为F（uk，j，y）与当前最优性能指标F（uk，y）的差值，即：

对于指标函数F（uk，y）在uk处的梯度估计，其第i个分量应用MCGA法进行计算为：

考虑对F（uk，j，y）在uk进行一阶泰勒展开，由于γ的值通常比较小，则有：

式中，g（uk）为F（uk，y）在uk处的真实梯度。将该式代入式（3）中，则bj变为：

式中，gl（uk）表示真实梯度第l个分量（l＝1，2，…，Nu）。将式（6）代入式（4）所示的表达式中，有：

对式（7）两边取期望值可得：

由于rj中的分量为符合标准正态分布的随机变量，则其满足以下条件：

式中，uk＋1为迭代更新后的控制变量；表示的无穷范数；α为搜索步长。在优化过程中，步长α采取简单的不精确线搜索方法来确定，如果当前步的目标函数没有严格增加时，α将减半，直至使目标函数增大为止。

3 计算实例

基于前述MCGA方法，这里对某油田单元进行了油藏生产优化计算。该单元含油面积0.64km2，地质储量85.0×104t，油藏中部深度3750m，油层平均有效厚度22.2m，地下原油粘度60.5mPa·s，油层平均渗透率725.5×10－3μm2，原始地层压力21.6MPa，平均孔隙度34.2%。单元内共投产油井6口、水井2口，目前正常生产油井4口，水井2口。单元累计产油28.3×104m3、累计注水8.242×104m3，含水率88.6%。所建该单元的油藏数值模型如图1所示。模型共划分23×14×16＝5152个网格，X方向步长30m，Y方向步长30m，纵向上共划分2个砂层组，细分为16个小层。

在进行油藏生产优化前，首先对该单元进行了油藏模拟历史拟合，图2显示了该单元含水率和累积产油的拟合结果。通过拟合修正该单元各项动态指标，整体拟合效果理想，更新后的油藏数值模型能较好地反映地下的实际情况。

根据目前油藏流体的分布情况和油藏井网，对该单元生产井的产液量和注水井的注入量进行了生产优化。优化前每口油井的初始产液量和注水井的注入量均按照当前工作制度生产，该次优化仅考虑边界约束，油井产液量和水井注入量下边界均为0m3/d，上边界均为120m3/d。原油的价格为3000元/m3，处理产出水的费用为110元/m3，注入水的费用为0元/m3，年利率为0.1。每60d为一个控制时间步，总计60个时间步，因此总优化时间为3600d，共有360个控制变量。

利用MCGA方法进行优化时，相应的计算参数设置为：Nr＝15、γ＝0.1、α＝20.0。从图3可以看出，整个优化过程经过102次迭代计算收敛，经济净现值获得大幅度增加。图4反映了优化前后单元部分开发指标的变化情况。由图4可知，考虑优化时间（3600d）内的累计产油变化，经过计算其优化后累计产油为1.8×104m3，相比优化前增加了63.6%，而优化后的含水率在整个生产期时间内均低于优化前的计算结果。另外，从第3小层优化前后剩余油分布（图5）来看，优化后油藏的水驱波及效率也得到了较好的改善。显然，应用该文方法通过对该油藏实施优化控制，起到了降水增油、提高经济效益的效果。

图1 油藏三维地质模型

图2 区块含水率及累计产油拟合结果

图3 优化过程中的净现值

图4 优化前后部分开发指标对比

图5 优化前后第3小油层剩余分布图

经过优化后的最终调控方案如图6所示。图中，横坐标表示为控制时间步序列，纵坐标所示为油井或水井；颜色的变化反映了不同时间步内注采参数的变化。可以看出，Y87－20井优化后趋向于较高的采液速度生产，而其他井则主要保持在较低的生产或注入速度，如Y87－26井和Y87－43井。通过对不同时间段内生产制度的调控，尽量抑制油井水的产出，增大原油产量，最终提高开发效益。

图6 计算所得最优生产调控图

4 结 论

1）基于MCGA法计算所得梯度的期望值为真实梯度，可以用于油藏生产优化控制变量梯度的估计。

2）MCGA方法能够方便地和任意油藏模拟器相结合，进行实际生产优化问题的求解，避免了采用伴随法求解递度过于复杂的局限性。

3）应用MCGA法进行实例计算，优化所得的最优控制方案有效提高了油藏波及系数、增加了经济开发效益，进一步验证了进行油藏实时优化控制的必要性和可行性。

［1］Saputelli L，Nikolaou M，Economides M J.Real－time reservoir management：a multi－scale adaptive optimization and control approach［J］.Computational Geosciences，2005，10（1）：61～96.

［2］Jansen J，Douma S，Brouwer D，et al.Closed－loop reservoir management［J］.SPE119098，2009.

［3］张凯，李阳，姚军，等.油藏生产优化理论研究［J］.石油学报，2010，31（1）：78～83.

［4］Sarma P，Durlofsky L，Aziz K.Implementation of adjoint solution for optimal control of smart wells［J］.SPE92864，2005.

［5］Brouwer D，Jansen J.Dynamic optimization of waterflooding with smart wells using optimal control theory［J］.SPEJ，2004，9（4）：391～402.

［6］Patelli E，Pradlwarter H J.Monte Carlo gradient estimation in high dimensions［J］.Int J Numer Math Engng，2010，81：172～188.

［7］袁亚湘，孙文瑜.最优化理论与方法［M］.北京：科学出版社，1999.

Reservoir Production Optimization Based on Monte Carlo Gradient Algorithm Method

CAO Lin，ZHAO Hui，YU Gao－ming（First Author's Address：College of Petroleum Engineering，Yangtze University，Jingzhou434023，Hubei，China）

The adjoint－based methods were mainly used for gradient calculation in reservoir real－time production optimization.But its calculation process was complicated，it was difficult for widely using it.The Monte Carlo Gradient Algorithm（MCGA）was firstly introduced into reservoir production optimization.The MCGA was fairly simple，the solution process was not restricted by reservoir simulator and the expected value of estimated gradient was the true gradient of the objective function.In combination with numerical simulation technology，the MCGA algorithm is applied for optimizing the production parameters of oil－gas wells（i.e.，liquid production rate of producers and injection rate of injectors）in a unit of an oilfield based on history match.The results indicates that the optimal control strategies significantly improve the effect of waterflooding development with cumulative oil production increase of 60%after optimization，which achieves the goal of increasing oil production with water inhibition.

Monte Carlo；gradient algorithm；production optimization；optimal control；numerical simulation

TE323

A

1000－9752（2012）06－0132－05

2011－11－25

国家自然科学基金项目（61004095F030202）。

曹琳（1983－），女，2006年大学毕业，硕士，助教，现从事油气田开发方面的研究工作。

［编辑］ 萧 雨