大学数学教学中思考与创新能力培养探讨*

孙大为，刘佳瑞

(河南工业大学，河南 郑州 450001)

大学数学教学中思考与创新能力培养探讨*

孙大为，刘佳瑞

(河南工业大学，河南 郑州 450001)

大学数学内容中蕴含了丰富的内容，是人类长期以来对自然界的观察与思考后总结提炼出的升华，本文探讨了把这些内容贯穿在本科生教学中，对学生思考与创新能力的培养做了有益的尝试.

大学数学;创新能力;探讨

大学数学包含了微积分、线性代数、概率论与数理统计、数学物理方程、复变函数等，课程较多，内容丰富，是各专业的最重要基础课之一，是学习后续专业课的重要工具，大学生应该高度重视并认真努力学好大学数学.但是很多学生反映大学数学很抽象，学起来比较吃力，往往通过死记硬背，暂时记住一些定理与例题，并没有理解其思想与精髓，考试后全忘记得一干二净，这与我们学习大学数学的目的相悖，希望通过大学数学培养学生独立思考与创新能力更是无从谈起.这就需要我们仔细分析大学数学的特点，利用数学的这种严谨性、科学性、前瞻性来引导学生们独立思考，培养自己的创新能力，逐步具有提出问题、分析问题、解决问题的能力.

1 加强数学史教育，激发学生兴趣

数学的产生来源于人类长期的生活实践，其发展就是人类认识世界改造世界的历史.我国数学历史源远流长，早在汉代就有《算数书》、《周髀算经》、《九章算术》等数学著作，宋元时期达到了一个高潮出现了《数书九章》、《杨辉算法》等，涌现了刘徽、祖冲之、杨辉等一批著名的数学家，较早的提出了勾股定理、圆周率的计算、线性方程组的解法等一大批数学成果，清朝更是涌现了与英国牛顿、日本关孝和齐名的大数学家梅文鼎，为近代科学在中国的传播和发展作出了开创性贡的献李善兰、华蘅芳等一批承前启后、横贯中西的数学家，他们的著作《平三角举要》、《弧三角举要》、《几何补编》、《几何通解》《数理精蕴》等揭示了我国也会运用自己独特的数学思想创立中国式的“微积分”.近代我国又有在解析数论、典型群、自守函数论、多复变函数论等广泛数学领域中的都作出卓越贡献的华罗庚、在整体微分几何上的卓越贡献，影响了整个数学的发展，被杨振宁誉为继欧几里德、高斯、黎曼、嘉当之后又一里程碑式的人物陈省身、在哥德巴赫猜想方面取得迄今为止世界上最好结果的陈景润、中国现代计算数学研究的开拓者冯康等等，说明我国数学从古代到现代都取得了令人瞩目的伟大成就，极大的增强了学生的自豪感.

在学习极限内容时，高中已经学过部分数列求极限的方法，但对于“ε－δ”语言，仍相当吃力，从历史上《庄子·天下篇》中记载的:“一尺之锤，日取其半，万世不竭”、刘徽的割圆术、无理数的引入、以及芝诺的飞矢不动悖论引发数学危机以及数学家柯西、魏尔斯特拉斯、波尔查诺、戴德金等如何做出种种努力来克服这次危机的介绍，展示了人们对于极限概念的认识经历了一段漫长的过程，从最初时期朴素、直观的极限观演变成为近代严格的极限理论，为正确理解微积分打下了严格的基础.

2 深刻理解数学概念与内涵，打好坚实基础

我们在学习导数与微分的时候，比如我们学习积分理论时，就要思考积分是怎么来的，为什么要去学习积分.我们可以从测量的角度来理解，比如我们要计算一块土地的面积，如果是正方形、长方形我们很容易计算，梯形的我们也能计算，但是稍微复杂一些的怎么办呢?比如我们国家的面积是960万平方公里，这个数字是如何测出来的?现在的房屋面积，如果阳台是不规则的，怎么样计算阳台面积?要计算一个边界不规则的多边形的面积，我们的先辈最初就是把他们分成最简单的能计算的小块再求和来计算其面积，这样算出来面积“差不多”是不规则多变形的面积，所以我们有了先分割再求和的这种自然而然的想法，那么我们顺利成章的引入了积分的定义.但是，是不是每个图形(曲线)都能这样分割再求和而得到一个具体数呢，稍微思考一下觉得应该不是怎样的，比如我们计算海岸线的长度，如果那么分割越细，此和将趋向于无穷，发生这种有悖于常识的情况是因为我们海岸线一般来说是处处不可导的，所以我们一般考虑光滑的函数在有界区域上的积分，理解了这些基本概念与想法，在学习积分定义时就会比较轻松.

3 通过问题启发独立思考能力

美国数学家哈尔莫斯说过:“问题是数学的心脏”.好的数学问题对数学的发展有着巨大的推动作用，一个很有意义的问题的解决，在其中投入的巨大努力，以及从中获得的真知灼见，可能打开一扇新学科的大门，甚至开辟科学的新纪元.

从数学发展历史来看，也恰恰印证了这一点.20世纪伟大的数学家希尔伯特在1900年的国际数学家大会上作了一次著名演讲，还提出了涉及数理逻辑、几何、数论、代数、拓扑著名的23个数学问题，这些问题都是当时各个分支悬而未决的数学难题，20世纪数学的发展相当一部分就是在不断的为解决这些难题而不断探索，对其他学科领域的发展也起到了极大的推动作用.由17世纪法国数学家费马提出“费马定理”:“将一个立方数分成两个立方数之和，或一个四次幂分成两个四次幂之和，或者一般地将一个高于二次的幂分成两个同次幂之和，这是不可能的.”但经过三百多年的努力，这个数论难题才由狄利克雷和勒让德、联邦德国数学家伐尔廷斯和普林斯顿大学英国数学家安德鲁·怀尔斯最终证明.证明利用了包括椭圆曲线和模形式，以及伽罗华理论和Hecke代数等种种高深数学理论，费马问题的解决也极大地促进了椭圆曲线以及现代密码理论的发展.1904年法国数学家庞加莱提出了如下一个被后人称为’庞加莱猜想”的世纪难题“任一单连通的、封闭的三维流形与三维球面同胚.”这本是一个拓扑问题，美国数学家史提芬·斯梅尔证明了五维以上的庞加莱猜想，但对于低维的却迟迟未能解决，但最终的解决却由俄罗斯数学家佩雷尔曼运用了理查德·汉密尔顿引入的“RICI流”这一几何分析方法，这一方面促进了几何分析学发展，另一方面对低维拓扑的发展也起到了革命性的作用.

问题意识是思维的动力，恰当地提出问题，能引导学生不断思考，不断探索.在学完导数内容时，作者提出了如下问题问为什么学了高阶导数而没有讲高阶微分?学习了求一阶导数、二阶导数，为什么没有一点五阶导数，可以自然地引起同学们的思考，可以思考微分与导数的定义与差别，为以后学习微分形式、分析几何奠定了基础.利用数学归纳法求解部分行列式或者进行不等式的证明时，可以引入如下问题:上述传统的归纳法都是针对离散对象的，对连续情形有没有类似的归纳法?通过这些问题的设置，激发起学生的求知欲望和好奇，逐步养成独立思考不断发现不断探索的能力.

4 加强动手能力

数学本身是一门逻辑性和严谨性都很强的科学，它要求我们每一步都必须严格而准确，有了兴趣和愿意思考是学好数学的第一步，我们仍需脚踏实地踏踏实实的推理和演算，逐步培养我们逻辑思维能力.我们从斜率与速度了解了导数、从线性方程组了解到行列式及矩阵运算以后，只记住一些性质定理是远远不够的，要想熟练掌握相关内容就需要在下面认真仔细地练习，避免眼高手低.特别是多元函数求偏导很容易忽略某些项而导致最终计算结果错误，行列式的计算以及求逆矩阵等内容更是在计算中一不小心就会出现错误，这就要求我们既要会算，更要认认真真仔仔细细地计算.伟大的数学家曾经给出如下公式:假如每点，每一方向上曲率都等于α，那么这个常曲率流形的线元可表示为:

这就是黎曼在就职演说中的唯一公式，发展了高斯的内蕴几何学思想，在几何学历史上有具有重大的意义.但是其构造确实需要大量的耐心细致地演算.

5 正确运用数学思想学会分析问题解决实际问题能力

数学基础课大多是偏重理论讲授，几乎以定义、定理、证明、例题来行文，我们不但要学会数学知识，更要会灵活运用数学思想来解决我们碰到的实际问题.数学最核心的思想就是从纷繁复杂的世界中提炼出最有用的信息，把复杂的问题简单化，把没有出现过的化成曾经解决过，从而达到解决问题的目的.比如我们学习高阶微分方程时，通常是降阶，把它化成低阶的能计算的类型来处理，计算行列式的时候，如果完全按照定义，那么对稍微高阶(比如20阶)的行列式计算都不太现实，我们都是通过行变换或者列变换把它化成低阶行列式进行计算.

宏观的天体运行、火箭发射以及微观的分子间运动、与我们实际生活联系紧密的道路交通优化问题、证券投资收益问题、人口演化、企业管理问题等问题都有数学相应的理论作为支撑.自诺贝尔设立经济学奖以来，越来越多的经济学家以数学作为主要的工具，并且涌现了纳什一批数学家为代表的诺贝尔奖获得者，这恰恰说明我们如果能恰当地正确地运用数学思想、数学方法，将极大的提高解决实际问题能力.

6 措施

(1)加强师资队伍建设.注重提高数学教师群体科研水平，通过科研水平来提高教师自身的素质.著名科学家、教育家钱伟长曾指出“教师进行教学工作是天职，但做好教学工作，必须进行科研.因为科学进步很快，只有进行科学研究的人，参加科学创新的人，才有条件理解创新精神，从而在教学工作中培养出有创新精神的人.”鼓励学术交流，经常性的参加名师精品课程培训，相互讨论，交流心得，不断吸取先进的教学科研方法，从而带动整体水平的提升.

(2)加强优质教材的建设.结合不同层次学校的实际需要，编著或者选用那些契合度高，难度适宜，学生理解更容易，应用性更强的教材，来引导学生接受数学、喜欢数学、用好数学.

(3)加强考核方式建设.针对不同类型、不同专业的学生，采取灵活的考核方式.改变定义、定理、习题这种传统的枯燥的教学考核模式，采取分层教学、单独考核、学生讲课、学生出题等方式，解决学生接受能力差，考核太单一的弊病.

［1］冯振举.数学史在大学数学教育中的作用［J］.西南交通大学学报，2007，8(6).

［2］徐永春，赵喜清，韩振芳.大学数学教学中渗透数学实验的探索与实践［J］.河北北方学院学报，2010，26(3).

［3］王有文，李瑞军.高等数学教学中数学思想方法作用的强化［J］.天水师范学院学报，2010，30(2).

［4］邱学绍.微积分及其应用［M］.北京:机械工业出版社，2008.

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2012－03－09