陈题新变 活力四射
——由一道祖冲之杯赛题变式引发的思考

● (成功中学 安徽马鞍山 243000)

陈题新变活力四射——由一道祖冲之杯赛题变式引发的思考

●汪宗兴(成功中学 安徽马鞍山 243000)

在教师的教学中，遇到不会做的题是常有的事．笔者对于同事或学生提出的问题，都会极力思考.凡认为有价值的问题都将其详细记录下来，其中不乏值得玩味的“好题”，现撷取一题，共赏之！

例1如图1，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB=AD，∠D=80°，∠BCD=30°，求证：AC=CD．

图1

图2

1 反复尝试，均告失败

题目表述简洁，图形简单，凭直觉应该容易做，但经过一番尝试，均以失败告终，不过倒是有一个新发现！

尝试1如图2，作△ABC关于AC的轴对称图形△AB′C，联结DB′，采用倒推法，知：△ACB′≌△DCB′，△ADB′是等边三角形．顺推时，由于AC=CD未知，相关角度未知，探索失败！

尝试2图3与图2类似，作△ACD关于AC的轴对称图形△ACD′，联结D′B，探索失败！

图3

图4

图5

图6

尝试3平移腰是梯形中常见的辅助线，如图4、图5，也没有成功！

尝试4观察图5，抽象出图6，此图与一道“祖冲之杯”赛题的图形相似，详见例2，能否将例2的证明方法迁移到例1上呢？尝试仍宣告失败．

例2已知：如图6，在△ABC中，AB=AC，∠A=20°，D是AB上一点，且AD=BC，联结CD，求∠BDC的度数．

(第6届祖冲之杯数学邀请赛试题)

这里∠BDC=30°，事实上例1等价于例3，如下．

例3已知：如图6，在△ABC中，∠B=80°，D是AB上一点，∠BDC=30°，联结CD，AD=BC，求证：AB=AC．

对比例3和例2，可以发现：例3就是将例2部分条件与结论互换而得．

前面的尝试虽然没有成功，但笔者发现可以将原图形改造成与之“等价图形”，将原题改造成与之“等价试题”．这里所说的“等价图形”是指可以将图形整体或是部分经过全等变换复原成原题图形；“等价试题”是指它们可以相互证明其正确性，这是笔者这一番尝试带来的最大收获！……