可逆可对角化矩阵最小多项式的行列式表示法

龚和林,舒情

(上饶师范学院数学与计算机科学学院,江西 上饶 334001)

0 引言

最小多项式在向量空间的分解,矩阵的对角化,矩阵方程,微分方程组等方面均有一定的应用[2-4], 它的计算常常是对A∈n×n的特征多项式fA(λ)作标准分解,找到A的全部不同特征值λ1,λ2,…,λs,再对fA(λ)的标准分解中含有的因式按次数从低到高的顺序进行检测, 第一个零化A的多项式就是最小多项式; 此外,还有利用A的最后一个不变因子或Jordan标准形的求解方法. 这些方法往往要作标准分解, 对实际求解的过程而言这决非易事. 最近,杨继明[5]利用向量的最小多项式得到了矩阵的最小多项式一种求法:先选定一组基,用初等变换求得每一个基向量关于A的最小多项式,再确定这些向量最小多项式的公倍式(即矩阵的最小多项式).郑大彬等[6]证明了对有限维向量空间n存在某个向量关于A的最小多项式等于A的最小多项式.这表明,文献[5]中计算矩阵的最小多项式的方法是有效的.与常规方法相比,文献[5]中方法虽避开了标准分解和Jordan标准形,且便于计算机实现，但这种方法计算量随矩阵规模扩大而迅速增加.因此存在一定的局限性. 本文中目的就是改进上述的初等变换法,充分利用线性空间的同构概念及初等变换特点,提出一种新的求矩阵最小多项式初等变换法. 特别地, 对可逆可对角化矩阵, 用行列式建立其最小多项式的显式公式.

1 相关概念及基本引理

首先我们回顾线性代数的一些基……