具有时滞的脉冲Rayleigh型方程的周期解

梁瑞喜

(中南大学数学科学与计算技术学院，中国 长沙 410075)

Rayleigh型方程x″(t)+f(x′(t))+g(x(t-τ(t)))=p(t)=p(t+T)因具有广泛的应用背景，人们对其周期解的存在性问题一直怀着强烈的兴趣，现已有大量的研究结果[1-8].但具有时滞的脉冲Rayleigh型方程在这方面的研究较少见.本文利用拓扑度理论证明了如下脉冲Rayleigh型方程

(1)

为了方便，以下记Ii(x(ti),x′(ti))为Ii,Ji(x(ti),x′(ti))为Ji.

本文将使用Mawhin连续定理[6]建立方程(1)周期解的存在性结果，对非脉冲Rayleigh型方程也是[7]的推广和改进.

1 一些引理

在后面的证明中，需要如下Mawhin连续定理.

(a)Lx≠λN(x,λ),∀x∈∂Ω∩DomL,λ∈(0,1),

(b)QN(x,0)≠0,∀x∈∂Ω∩KerL,且deg{JQN(x,0),Ω∩KerL,0}≠0,

其中Q：Y→Y是一投影算子，且ImL=KerQ,J:ImQ→KerL是同构映射，那么方程Lx=N(x,1)在Ω中至少有一个解.

定义算子

L:DomL⊂X→Y,x→(x″,Δx(t1),…,Δx(tk),Δx′(t1),…,Δx′(tk)),

N:X×[0,1]→Y,(x,λ)→(-f(x′(t))-g(x(t-τ(t)))+λp(t),I1,…，Ik,J1,…,Jk).

这样方程(1)有周期解等价于方程Lx=N(x,1),x∈DomL有解.

引理2L是零指标的Fredholm算子，则

KerL={x∈X,x=c,c∈R},

(2)

以及

ImL={(y,a1,…,ak,b1,…,bk):x″=y,Δx(ti)=ai,Δx′(ti)=bi,i=1,…,k}=

(3)

证(2)式显然成立，下证明(3)式成立.为此考虑方程

(4)

其中ai,bi为常数.不失一般性，取初始时刻t0=0,因此方程(4)满足x(0)=x(T).由(4)式得

由x(0)=x(T)得

另一方面，令

其中c是任意常数，易验证x(t)是(4)的解，且x(0)=x(T).因此

取投影算子Q：Y→Y如下

对每个(y,a1,…,ak,b1,…,bk)∈Y,令

u=(y1,a1,…,ak,b1,…,bk)=(y,a1,…,ak,b1,…,bk)-Q(y,a1,…,ak,b1,…,bk).

证定义投影算子P(x)=x(0),x∈X,那么KP:ImL→KerP∩DomL可定义为：∀(y,a1,…,ak,b1,…,bk)=u∈Y,

事实上，对∀(y,a1,…,ak,b1,…,bk)∈ImL有

(y(t),a1,…,ak,b1,…,bk)=u(t),

∀x∈DomL∩KerP,成立x(0)=0,因此

所以KP是L|Dom L∩Ker P的逆.

2 主要结果

在这一节，我们导出方程(1)的周期解的存在性定理.

定理1如果存在正常数K,D和M，M1，M2，使得下列条件满足

(H1) |f(x)|≤K,∀x∈R,

(H2)xg(x)>0,|g(x)|>K,∀|x|>D,

(H3)g(x)≥-M,∀x≤-D,

(H5) |Ii|

那么方程(1)至少存在一个T周期解.

证考虑算子方程Lx=λN(x,λ),λ∈(0,1),即

(5)

设x(t)是(5)的任意一个T周期解,可以证明存在ξ0∈[0,T]使得

|x(ξ0-τ(ξ0))|

(6)

假设(6)式不成立，则∀s∈[0,T],均有|x(s-τ(s))|>D,从0到T积分(5)式得

(7)

于是

(8)

将方程(5)两边同乘以x(t)并从0到T积分得

因此有

(9)

设E1={t:t∈[0,T],x(t-τ(t))>D},E2={t:t∈[0,T],x(t-τ(t))<-D}和E3={t:t∈[0,T],|x(t-τ(t))|≤D}.由(7)式，我们得到

所以

(10)

(11)

由E2,E3的定义及(H3)知

(12)

(13)

由上述不等式，可导出存在与λ无关的R1>0,使得

(14)

由(8)与(14)进一步可证明，存在与λ无关的R2>0，满足|x(t)|≤R2,从而|x|∞≤R2.又由(5)式有

2(KT+MT+TgD)+p1T+kM2.

从而|x′|∞≤R3.取R0>max{D,R2,R3},令Ω={x∈X:‖……