MQ函数在偏微分方程中的应用

张颖超

(广西师范大学数学科学学院,中国 桂林 541004)

许多物理现象和工程技术问题都可以归结为一个微分方程.大多数情况下,偏微分方程的解析解是不容易得到的,所以人们致力于寻找微分方程的数值解.微分方程的数值逼近可以通过Euler法,Runge-Kutta法和数值积分等方法得到[1-2].

近些年来,人们的主要目标是寻找各种各样的无网格方法,利用径向基函数(RBF)解微分方程是受到普遍关注的无网格方法,人们已经用径向基函数配置法解线性和非线性的偏微分方程[3-8].1971年,Hardy[9]总结评论了关于multiquadric(MQ)函数的各种应用,特别是在地理,遥感,信号系统等方面的成功应用.自从Kansa[10-11]用径向基函数解偏微分方程(PDE),并且得到非常精确的解后,用径向基函数解偏分方程引起越来越多的关注,Madych 和Nelson[12-14]证实了MQ插值的收敛性.

用径向基函数配置法解微分方程的过程中,会得到一个线性方程组,只要此线性方程组的解存在唯一,就可以得到微分方程的数值解.所以验证线性方程组解的存在唯一性,也是径向基函数配置法解微分方程的重要部分.去年,本文作者已经验证当选用正定径向基函数时,线性方程组的解是存在唯一的[15].但是对于非正定径向基函数的情形，还没有得到证明.

Multiquadric(MQ)函数是一种常用的非正定径向基函数.本文主要讨论用MQ函数解偏微分方程

(1)

其中p>0,q≥0 或者p<0,q≤0,Ω⊂R2,f(x,y),g(x,y)是连续函数；讨论在插值过程中,所得到的矩阵方程的可解性,还讨论了径向基函数的形状参数对数值解的影响.

1 MQ函数的应用

1.1 相关引理

对于任意阶可微函数u(r)，r∈Ω⊂Rn,在Ω内配置N个散乱的数据点r1,r2,…,rN,令

(2)

引理1[16]矩阵A={e-α(xi -xj )2},i,j= 1,2,…,N是正定矩阵，其中α是常数.

设Φ……