亚纯多叶函数的一子类性质

周 伟

(淮阴师范学院数学科学学院,中国 淮安 223300)

1 预备知识

定义1设∑P表示形如

且在E=z:0

设函数φp(a,c;z)为

(x)0=1,(x)k=x(x+1)(x+2)…(x+k-1) ,k∈N,

这里(x)k为Pochhammer记号.它可以表示成超几何函数[9-10]

定义2设f∈∑p,定义关于∑p的线性算子Lp(a,c)如下

Lp(a,c)f(z)=φp(a,c;z)f(z).

可证明线性算子Lp(a,c)满足

(1)

z(Lp(a,c)f(z))′=aLp(a+1,c)f(z)-(a+p)Lp(a,c)f(z).

定义3若f∈∑p且满足

其中z∈E,-1≤B

(2)

2 主要结论

假定a>0,c>0且0≤B<1.

(3)

其中

(4)

当

(5)

时,结论是精确的.

从而有

(6)

考虑z取实值.取z=r(0≤r<1).则当r=0时,(6)式的分母是正的,从而对于所有的r(0

从而(3)式成立.

反之,由(3)式可得:

由定理1可得下面精确的系数估计.

当f(z)为(5)式时,等号成立.

(7)

其中Ck=kΓk+p(a)[k(1+B)+p(A-B)],k=p,p+1,…;p∈N，且Γm(a)由(4)式给出.

(8)

由(5)式给出的f(z)为(7),(8)式的极值函数.

从而可得(7),(8)式成立.定理得证.

(1)f在圆盘z

(9)

其中

(10)

且Γm(a)由(4)式给出.

(2)f在圆盘z

(11)

其中

(12)

且Γm(a)由(4)式给出.由(5)式给出的f(z)为这些结论的极值函数.

证(1)由定义(2)式可得

(13)

则

从而可得(9)式成立.

由(13)式可得:z

(2) 由(2)式得

(14)

则

由(14)式可得:z

参考文献:

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