悬链线形断面渠道正常水深的简化算法

滕 凯

（齐齐哈尔市水务局，黑龙江齐齐哈尔161006）

TENG Kai

（Qiqihar City Water Authority，Qiqihar 161006，China）

随着现代化施工机械连续施工作业技术的发展，具有受力条件好、水流条件优越的悬链线形断面渠道将越来越广泛地应用于水利水电供排水工程。由于悬链线形断面渠道正常水深计算涉及高次方程求解问题，常规的试算法、图表解法［1-3］、迭代法［4-5］或是计算过程繁复、依赖图表，或是求解成果精度不高，不便应用；而由计算机编程求解又不便实际工作，因此，寻求一种更加简单实用的简化计算方法具有一定的实际意义，但到目前为止，尚没有比较理想的有关悬链线形断面渠道正常水深计算方法的研究成果。为有效简化该种断面正常水深的求解计算方法，本文在对该断面正常水深计算公式变形整理的基础上，通过引入无量纲水深参数，采用优化拟合的方法，经逐次拟合逼近，获得了计算过程简捷、求解精度高、使用范围广的简化近似计算式，可在实际工程设计中推广应用。

1 正常水深的基本计算方程

根据水力学原理［6］，正常水深的基本计算方程为：

式中 Q为渠道通过流量（m3/s）；X为湿周（m）；A为过水断面面积（m2）；n为渠道糙率系数；i为渠道设计坡降。

悬链线形断面渠道如图1所示。

图1 悬链线形渠道过水断面

断面的曲线方程为：

设水面宽度为B，则其过水断面水力要素为：

式中 a为悬链线形断面形状参数。

由式（3）可得：

将式（4）～（7）分别代入式（1），并设

式中 x为无量纲收缩水深；h0为渠道正常水深（m）；β 为渠道宽深比系数；k为无量纲中间变量参数。

经对式（1）方程组变形整理，即可获得计算悬链线形断面渠道正常水深的基本公式：

由式（9）可见，在理论上x 的值域范围为（0，∞）。而在实际工程中，根据文献［7］的研究结果，悬链线形断面的最优断面形式为B/a=3.21223，将其代入式（6），可求得x=1.5921，因此，在实际工程中，x的值域范围不会超出［0.06，29.0］，相应的宽深比系数β 的值域范围为［0.282，11.49］，相应k的值域范围为［0.0209，23.8211］。

2 正常水深简化公式及精度分析

2.1 简化公式的建立

式（9）为超越方程求解问题，无法通过解析法获解。据此，本文采用拟合替代形式提出简化计算方法。

依据上述值域范围，利用式（9）完成k～x关系曲线绘制（曲线图略），并假定函数x=f（k）可以拟合k～x关系曲线并替代式（9），经数值替代分析及优化拟合计算，以标准剩余差最小为目标函数［8］，即

式中 x′为第i（i=1，2，3，…，n）拟合替代值；n为拟合计算的数组数。

经逐次逼近拟合［9］，即可获得式（9）的最优拟合替代函数式：

由式（10）求出x后，即可用式（11）求得正常水深h0为:

2.2 简化公式的精度分析

为比较式（10）与式（9）的拟合精度，在给定的工程实用参数范围内（即0.06≤x≤29.0），选取不同的xi代入式（9）即可计算出与之相对应的ki，再将ki代入式（10），求得与之相对应的xi′（xi′为近似计算值），并由式（12）进行拟合相对误差计算。

式中 zi为拟合相对误差（%）；i为拟合计算的第i个数据比较（i=1，2，3，…，n）。

计算结果见表1。

由表1精度比较可见，在工程实用范围内，即0.06≤x≤29.0，0.0209≤k≤23.8211情况下，式（10）的最大拟合替代相对误差仅为0.257%，且有79%的拟合点的相对误差小于0.2%，可见，式（10）具有较好的拟合替代精度，完全可以满足实际工程的设计精度要求，且该公式在表达形式上较文献［5］更直观，具体比较见表2。

3 应用举例

选文献［4］算例：已知某输水渠道的横断面形状为悬链线形，设计过流量3.0m3/s，渠底设计纵坡降i=1/1500，渠床糙率系数n=0.04，曲线方程的特征值a=0.76256m，试计算该渠道的正常水深h值。

表1 式（10）与式（9）拟合精度比较

表2 悬链线形断面渠道正常水深计算公式形式比较

根据已知参数可求得：

将k=1.3631，a=0.76256m代入式（10）～（11）即可求得正常水深h0=1.3089m。

通过微机编程可得，该渠道正常水深的精确解为h0=1.3089m，本文公式计算结果的相对误差为0。

4 结语

针对目前尚没有悬链线形断面渠道正常水深简化计算方法的实际问题，通过对基本方程超越函数的优化拟合替代，获得了可直接完成正常水深计算的近似公式，与传统计算方法比较，具有以下特点：

（1）公式的表达形式简单直观，便于记忆，计算过程更加简捷，避免了传统方法繁复的试算及迭代计算，摆脱了有关计算图表的束缚，实际工作仅借助计算器即可方便快捷地完成解算，适于广大基层工程技术人员实际推广应用。

（2）通过精度比较及算例计算分析表明，在工程实用参数范围内，本文公式具有较好的计算精度，最大拟合相对误差仅为0.257%，完全可以满足实际工程的设计精度要求。

［1］华东水利学院.水工设计手册［K］.北京：水利电力出版社，1986.

［2］武汉水利电力学院水力学教研室.水力计算手册［K］.北京：水利电力出版社，1983.

［3］成都科学技术大学水力学教研室.水力学（第二版）［M］.北京：人民教育出版社，1983.

［4］季国文.抛物线及悬链线形断面明渠的水力设计［J］.水利水电科技进展，1997，17（2）：43-45.

［5］黄开路，张晓莲，柳凤明.悬链线形断面明渠的水力计算探讨［J］.黑龙江水专学报，2006，33（3）：41-42.

［6］成都科学技术大学水力学教研室.水力学［M］.北京：人民教育出版社，1980.

［7］吕宏兴，冯家涛.明渠水力最佳断面比较［J］.人民长江，1994（11）：42-45.

［8］王慧文.偏最小二乘回归法及其应用［M］.北京：国防工业出版社，1999.

［9］阎凤文.测量数据处理方法［M］.北京：原子能出版社，1988.