用图论方法判断范畴的特殊对象

叶丽霞

(浙江外国语学院科学技术学院，浙江杭州310012)

1 引言

在同调代数中，范畴的始对象、终对象和零对象是非常重要的概念.

定义1［1］11设C为范畴.若I∈obC满足

定义2［1］11设C为范畴.若I∈obC满足

则称I为C的一个终对象.若Z同时是C中的始对象与终对象，则称Z为C的一个零对象.

定义 3［2］172设有向图 D= ＜ V，E ＞=m.令为顶点vi邻接到顶点vj的边的条数，称()n×n为D的邻接矩阵.

定义4［2］206一棵非平凡的有向树，如果有一个顶点的入度为0，其余顶点的顶点的入度均为1，则称此有向树为根树.在根树中，入度为0的顶点称为树根;入度为1，出度为0的顶点称为树叶.

定义 5［2］157设 D= ＜ V，E ＞ 为 n 阶有向图，若，即图中每个顶点的度都是0，则称D为n阶零图.特别地，1阶零图也称为平凡图.

定义6［2］162设D= ＜V，E＞为n阶有向简单图，

则称D为n阶圈图.

可以看出，范畴的定义比较抽象，而且范畴的始对象或终对象不一定存在.在文献［1］的例5中，作者用图来表示范畴，这样就可以相对直观地判断出范畴的特殊对象.本文利用图论知识建立了判断范畴的始对象、终对象和零对象的两个等价定理，并得到了偏序范畴等特殊范畴的相关推论.

2 主要结论及相关推论

设C为范畴，其中对象集是obC={a1，a2，…，an}.现规定obC为图的顶点集，当不同对象ai到aj存在态射时，则在两顶点之间连上一条有向边，但忽略各对象到自身的恒等态射，于是范畴C可表示为一个没有环和重边的n阶有向简单图.

定理1 设C为范畴，其中obC={a1，a2，…，an}.设图G为范畴C对应的n阶图，则有

(1)若在图G中，顶点ai到其余n－1个顶点都只有一条长度小于n的有向通……