污染环境下的随机Logistic模型

关丽红, 赵亚男

(长春大学 理学院, 长春 130022)

用微分方程描述一个简单的Logistic模型通常表示为

(1)

其中:x(t)表示t时刻单个物种的生物种群密度;r0>0表示内禀增长率;k>0表示环境容纳量. 关于系统(1)的研究目前已有许多结果[1-4].

本文基于如下假设： 1) 无污染时种群按Logistic规律增长, 在污染环境中, 种群对毒素的剂量反应取线性函数, 毒素和种群间互相传染; 2) 污染只通过环境影响种群, 如种群因呼吸受到毒害, 不计食物链的影响, 种群对毒素的吸入、 种群的排泄和自净作用均取线性形式; 3) 环境的容量足够大, 种群的吸收与排泄对环境毒素浓度的影响可忽略不计.

设x(t)表示时刻t种群的数量,C0(t)表示该时刻生物个体毒素体内的浓度,CE(t)表示时刻t的环境毒素浓度,r0表示当不存在毒素时生物的内秉增长率,r1表示生物增长对毒素的反应强度,r0/k表示生物种群内制约因子. 从而可得到生物增长满足的方程:

dx(t)/dt=x(t)[r0-r1C0(t)-(r0/k)x(t)].

(2)

生物体内毒素浓度的变化规律：

dC0(t)/dt=kCE(t)-gC0(t)-mC0(t),

(3)

其中:k,g,m为正常数;kCE(t)表示时刻t生物对环境中毒素的吸收率, 设其与CE(t)成正比;gC0(t)表示时刻t对毒素的排除率;mC0(t)表示时刻t生物对毒素的净化率.

环境中毒素浓度的变化规律如下：

dCE(t)/dt=-hCE(t)+u(t),

(4)

其中:h为正常数;hCE(t)表示环境内毒素的损失率;u(t)表示时刻t外界对环境的毒素输入率, 是[0,+∞)上的非负连续有界函数. 综上, 可得污染环境的随机Logistic模型：

初值条件为x(0)=x0>0, 0≤C0(0)<1, 0≤CE(0)<1. 把向环境中毒素的排放率函数u(t)作为系统的控制函数. 考虑u(t)小于何值时, 系统是持久的,u(t)大于何值时, 系统将会灭绝. 确定性模型在某些情况下可以反映客观世界污染环境中生物生长真实过程的一些重要特征. 可在多数情况下, 如果所考虑的种群个体数量不是很大, 随机干扰强度和方差不是很小, 则只考虑确定性模型就不符合实际了, 此时把随机干扰因素附加到模型中显然更符合实际情况. 同时, 还要考虑到影响污染环境中生物生存或灭绝的关键因素, 才能使推导出的随机模型更好地描述客观实际情况[5-8].

dx(t)=x(t)[r0-r1C0(t)-(r0/k)x(t)]dt+αx(t)dBt,

(5)

初值条件为x(0)=x0>0, 其中Bt是一维标准Brown运动, 从而确定性的模型(M1)即变为如下随机模型：

应用文献[9]的结果, 可得如下引理.

[1] May R M. Stability and Complexity in Model Ecosystems [M]. Princeton: Princeton University Press, 1973.

[2] Hallam T G, Zhien M. Persistence in Population Models with Demographic Fluctuations [J]. J Math Biol, 1986, 24(3): 327-339.

[3] HE Ji-wei, WANG Ke. The Survival Analysis for a Single-Species Population Model in a Polluted Environment [J]. Appl Math Model, 2007, 31(10): 2227-2238.

[4] HE Ji-wei, WANG Ke. The Survival Analysis for a Population in a Polluted Environment [J]. Nonl Anal: Real World Appl, 2009, 10(3): 1555-1571.

[5] JIANG Da-qing, SHI Ning-zhong, ZHAO Ya-nan. Existence, Uniqueness and Global Stability of Positive Solutions to the Food-Limited Population Model with Random Perturbation [J]. Math and Comput Model, 2005, 42(5/6): 651-658.

[6] ZHAO Ya-nan, WENG Shi-you. Existence and Uniqueness of Position Solutions to the General “Food-Limited” Species Model with Random Perturbation [J]. Journal of Jilin University: Science Edition, 2007, 45(6): 919-922. (赵亚男, 翁世有. 具有随机扰动的广义“食物有限”种群模型正解的存在性和唯一性 [J]. 吉林大学学报: 理学版, 2007, 45(6): 919-922.)

[7] ZHAO Ya-nan, GAO Hai-yin. Global Attractivity of Position Solutions to General “Food-Limited” Species Model with Random Perturbation [J]. Journal of Jilin University: Science Edition, 2011, 45(2): 263-266. (赵亚男, 高海音. 具有随机扰动的广义“食物有限”种群模型正解的全局吸引性 [J]. 吉林大学学报: 理学版, 2011, 45(2): 263-266.)

[8] JI Chun-yan, JIANG Da-qing, SHI Ning-zhong. Multigroup SIR Epidemic Model with Stochastic Perturbation [J]. Physica A: Statis Mech and Its Appl, 2011, 390(10): 1747-1762.

[9] JIANG Da-qing, SHI Ning-zhong, LI Xiao-yue. Global Stability and Stochastic Permanence of a Nonautonomous Logistic Equation with Random Perturbation [J]. J of Math Anal and Appl, 2008, 340(1): 588-597.