一类二阶三点边值问题无穷多解的存在性

贺 强, 张 琪, 卢 洋

(吉林大学 数学学院, 长春 130012)

多点支持的桥梁简化模型可用如下二阶三点边值问题描述:

(1)

其中:λ≥0;β∈[0,1],α·β∈[0,1]. 分别考虑以下3种情况：

条件(2)称为共振条件; 条件(4)和(3)称为非共振条件.

文献[1-3]在理论上证明了方程(1)解的存在性, 但只给出了方程解存在的个数下界, 并没有对其上界做出估计.

为分析三点边值问题(1)解的存在性, 先介绍上解和下解[4]方法.

引理1[4]假设以下3个条件同时成立:

1)λ≥0,β∈[0,1];

2)f(·,·)是定义在(0,1)×R上的实函数, 且满足:

(i) 对每个确定的u∈R,f(t,u)在(0,1)上是可测的;

(ii)f(t,·)在t∈(0,1)上是几乎处处连续的;

(iii) 对任意给定的N>0, 都存在一个函数kN(t)∈E, 使得

f(t,u)≤kN(t),t∈(0,1),u∈[-N,N],

3) 存在两个函数u*(t)和u*(t)分别是方程(1)的下解和上解, 且在[0,1]上u*(t)≤u*(t). 则方程(1)存在一个解u0(t), 且满足u*(t)≤u0(t)≤u*(t).

引理1说明如果方程(1)同时具有下解u*(t)和上解u*(t), 且u*(t)≤u*(t), 则方程(1)存在解.

文献[5]对方程(1)解的存在性证明中, 使用了如下条件：

4)f: [0,1]×R→R是连续函数, 并且满足：f(t,u)≤p(t)u+r(t), 这里p(·),r(·)∈L1(0,1),‖p‖L1<1.

1 无穷多解的存在性

下面举例说明方程(1)可能有无穷多解. 考虑方程:

(5)

先说明当f=sin(u(t)/t)时, 方程(5)的解确实存在, 即存在解函数u(t), 使得这样选取的f(t,u(t))在条件(2)～(4)下均满足引理1的条件1)～3).

显然, 方程(5)满足引理1中的假设1)和2). 下面验证假设3). 只需找到条件(2)～(4)下原方程的一个上解和一个下解即可说明原问题解的存在性. 为此, 定义

u*(t)=-3t,u*(t)=-5t.

显然, 对t∈[0,1],u*(t)≥u*(t). 容易验证, 只要λ≥0, 则无论是共振条件(2)下, 还是非共振条件(3),(4)下,u*(t)都是原方程的一个上解,u*(t)是原方程的一个下解, 并且有u*(t)

因为共振条件下解的存在性已证, 因此不妨设u0是共振条件(2)下的一个解, 于是, 有:

定理1设u0是共振条件(2)下方程(5)的一个解. 令un(t)=u0(t)+2nπt,n∈N, 则un(t)是共振条件(2)下方程(5)的一组解, 并且若u0是线性形式的, 则这组un也是线性形式的.

在非共振条件下解的存在性也已经得证, 不妨设u1是非共振条件(3)下的一个解, 于是, 有:

定理2设u1是非共振条件(3)下方程(5)的一个解. 令un(t)=u1(t)+2nπt,n∈N, 则un(t)是非共振条件(3)下方程(5)的一组解.

下面说明在非共振条件(4)下方程(5)有可数无穷多个解. 为此, 考虑如下初值问题：

(6)

解方程(6)可得一个关于初值c和变量t的解u=u(t,c), 将该解代入3个边值条件, 得：

由方程(7)～(9)中得到的c, 即为对应方程真解的初值, 因此, 方程(5)产生无解或者唯一解或者多解乃至无穷解的原因就是边值条件(7)～(9)所得的方程有几个解c, 每个c都唯一确定了原方程的一个解u=u(t).

下面证明在条件(9)下, 原方程依然有无穷多解. 在条件(7)～(9)下的解分别记为u1,u2,u3.

证明思路： 假设u2是条件(8)下原方程的一个解, 则根据已有的结论可知un=u2+2nπt也是解； 并且这些解在t=0以外都是无处稠密的, 因为取任意的δ∈(0,1), 对任意相邻的两个un都有

un(δ)-un-1(δ)=(u2+2nπδ)-[u2+2(n-1)πδ]=2δ.

所以只要证明了在条件(9)下原方程的解可以逼近在条件(8)下的解, 则即说明了在条件(9)下原方程依然有无穷多解.

2 数值计算方法

(10)

(11)

根据常微分方程初值问题解的唯一性, 可以得到方程(11)的唯一解u(t,c)=x1(t,c), 于是, 令

g(c)=x1(1,c)-αx1(β,c)-λ.

显然g(c)的零点c*必满足边值条件u(1)-αu(β)=λ微分方程的初值. 于是, 可以通过求c*, 得到与原边值问题等价的初值问题, 从而通过求解初值问题得到原问题的解. 而c*的存在性也同样由原方程解的存在性保证, 即如果先找到较简单的函数是原问题的上下解, 则c*一定存在.

关于λ,{λn}的选取, 本文考虑非负的情况, 由文献[3-5]可知, 在λ取值超过某个正数λ*时原方程无解, 该正数λ*是原问题分支结构的转折点, 即λ*是方程

(12)

[1] MA Ru-yun, Castaneda N. Existence of Solutions of Nonlinearm-Point Boundary-Value Problems [J]. J Math Anal Appl, 2001, 256(2): 556-567.

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[3] MA Ru-yun. Positive Solutions for Nonhomogeneousm-Point Boundary Value Problems [J]. Comput Math Appl, 2004, 47(4/5): 689-698.

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[5] MA Ru-yun. Multiplicity Results for a Three-Point Boundary Value Problem at Resonance [J]. Nonlinear Analysis: Theory, Methods & Applications, 2003, 53(6): 777-789.