一族新的免求二阶导数的Chebyshev-Halley型迭代法

程桂贤， 何国龙

(浙江师范大学数理与信息工程学院，浙江金华 321004)

0 引言

非线性方程求解的方法和理论是当今数值分析研究的重要课题之一，而Newton迭代法是非线性方程求根的重要经典方法［1-2］，其迭代公式为

收敛阶为2．

近年来，有不少工作者对Newton迭代法进行了改进［3-6］．如文献［5］中的Newton-Steffensen迭代法，其迭代公式为

Chebyshev-Halley迭代法是一族收敛阶为3的迭代法，而且一些著名的迭代法包含其中．例如，当法［6-8］．然而，在Chebyshev-Halley迭代法中含有二阶导数的计算．因此，它在实际应用中受到了一定的限制．故求解非线性方程时经常会选用Newton迭代法．

至今，已有许多文献对 Chebyshev迭代法、Halley迭代法及 Chebyshev-Halley迭代法进行了改进［9-13］，其结果优于经典的Chebyshev-Halley迭代法及Newton迭代法．在上述工作的影响下，本文也提出了一族新的免求二阶导数的Chebyshev-Halley型迭代法．在每次迭代过程中只需计算2个函数值和1个一次导数值，其收敛阶仍为3．数值实验结果也验证了此方法的有效性．

1 新的Chebyshev-Halley型迭代法的推导及收敛性分析

设非线性方程

在开区间D⊆R→R上有单根α，且f(x)在D上充分光滑．将f(x)在xn(xn为n次迭代值)处泰勒展开，得

将x=α代入式(5)得

由式(7)可得

由式(8)和式(9)可得

于是，得到一族新的免求二阶导数的Chebyshev-Halley型迭代法

定理1 设f:D⊆R→R在α附近充分光滑，α∈D是方程f(x)=0的单根，且x0充分靠近α，则由式(12)所定义的迭代式的收敛阶至少为3，且误差方程为

证明 将f(xn)，f'(xn)在α处泰勒展开，得

于是

将式(15)及式(19)代入式(11)可得

故

于是1

因此

定理1得证．

2 例子

当β=0时，可得到另一种新的3阶迭代法

3 数值试验

为了验证本文所给出……