Banach空间中的逼近问题

常 青

（重庆师范大学数学学院，重庆 400047）

1 预备知识

设E是实Banach空间，C是非空闭凸集C⊂E，F(T)是映射T的公共不动点集合.

定义1.1[2]设T:C→C是一个映象.

定义1.2[2]设E一个实Banach空间，C是E上的非空子集.

（1）映象P称为从E到C的一个收缩映象，如果P2=P.

（2）称C为E上的收缩核，如果存在一连续的收缩映象使得Px=x，∀x∈C.

（3）特别地，称C为E上的非扩张收缩核，如果存在非扩张收缩映象P:E→C使得Px=x，∀x∈ C .

定义1.3[2]设E一个实Banach空间，C为E上的非空非扩张收缩核，P为从E到C的非扩张收缩映象.设T:E→C为非自映象.

（2）称 T为非自渐近拟非扩张映象，若F(T )≠Ø ，如果存在一序列{kn} ⊂ [1,∞)且kn→ 1(n →∞)使得

（3）称T是非自渐近非扩张型映象，如果

（4）称T为非自渐近拟非扩张型映象，若F(T )≠Ø且满足

注1 在C有界的情况下，由定义1.3可知：

（1）若T:C→T是一非自渐近非扩张映象，则 T是一非自渐近非扩张型映象；

（2）若T:C→T是一非自渐近拟非扩张映象，则T是一非自渐近拟非扩张型映象；

（3）若F(T)非空且T是非自渐近非扩张型映象，则T是非自渐近拟非扩张型映象.

定义1.4 设E为实Banach空间，C为E上的非空闭凸子集且为E上的收缩核，P:E→C的保核收缩映象， T1,T2,… ,TN为C到E上的非自渐近拟非扩张型映象，∀x1∈C，具有误差的N步迭代序列{xn}定义如下：

要证明定理，需要引入如下的引理.

引理1.1[3]{an},{bn}为满足下面条件的两个非负实数列：

2 主要结果

其中 d(xn,F )为xn到F的距离.

证明（必要性）显然.

（充分性）∵ T1,T2,… ,TN为C到E上的非自渐近拟非扩张型映象，故∀ε＞0，存在正整数n0使得当 n≥n0时，有

由于 {xn},｛ yni｝⊂ C,i = 1,2,… ,N -1，对任意n≥n0有

由（1）和（4）有

类似的我们也可证明：

由（6）和（7）我们有

由归纳法，可以证明对任意i=1，2，…，N-1

特别地，在（8）取i=N-1，有

因此，由（5）和(9)有

下证（1）所确定的序列{xn}是柯……