Armendariz环的推广

伍惠凤

（杭州师范大学理学院，浙江杭州 310036）

Armendariz环的推广

伍惠凤

（杭州师范大学理学院，浙江杭州 310036）

引入强3－Armendariz环的概念，运用环论的一般研究方法研究了它的性质，证明了强3－Armendariz环的子环和直积是强3－Armendariz环，以及一定条件下的商环和映射环是强3－Armendariz环.

强3－Armendariz环；商环；直积；映射环

容易验证R是强3－Armendariz环，则R是3－Armendariz环.但是反之不一定成立.由［2，例2.1］知：R是Armendariz环，从而是3－Armendariz环.但是环R＝（F＋A）/I不是是幂级数Armendariz环，类似的方法易证得R不是强3－Armendariz环.

命题1 强3－Armendariz环的子环和直积是强3－Armendariz环.

证明 显然，强3－Armendariz环的子环是强3－Armendariz环.

定义2 设S是环，A＝｛f｜f：S→R｝，定义A上加法和乘法如下：f＋g：（f＋g）（s）＝f（s）＋g（s），f·g：（f·g）（s）＝f（s）·g（s），称A是R－环.（见文献［3］）

定理1 如果R是强3－Armendariz环，则R－环A是强3－Armendariz环.

定理2 设A和B是R的理想.若R/A是强3－Armendariz环，则R/（A：B）是强3－Armendariz环.

推论1 设R是强3－Armendariz环.如果I是R的理想，则R/lR（I）是强3－Armendariz环.

证明lR（I）＝（0∶I）＝｛x∈R｜xR＝0｝，R/（0）＝R是强3－Armendariz环，由定理2得R/lR（I）＝R/（0∶I）是强3－Armendariz环.

命题2 设R是abelian环，则下列条件等价：

1）R是强3－Armendariz环；

2）对于R的任意幂等元e，eR和（1－e）R是强3－Armendariz环；

3）对于R的某一个幂等元e，eR和（1－e）R是强3－Armendariz环.

其中，（1－e）R：＝｛r－er｜r∈R｝.

证明 （1）⇒（2）.因为R是abelian环，e是R的幂等元，易证得eR是R的子环.对于任意（1－e）r1，（1－e）r2∈R，（1－e）r1－（1－e）r2＝（1－e）（r1－r2）∈（1－e）R；（1－e）r1（1－e）r2∈（1－e）R，故（1－e）R是R的子环.因为R是强3－Armendariz环，而强3－Armendariz环的子环是强3－Armendariz环，所以对于R的任意幂等元e，eR和（1－e）R是强3－Armendariz环.

（2）⇒（3）.显然.

［1］Rege M B，Chhawchharia S.Armendariz rings［J］.Proc Japan Acad Ser A Math Sci，1997，73（1）：14－17.

［2］Kim N K，Lee K H，Lee Y.Power series rings satisfying a zero divisor porperty［J］.Comm Algebra，2006，34（6）：2205－2218.

［3］杨随义.关于Armendariz环的推广［D］.兰州：兰州大学，2008.

Extensions of Armendariz Rings

WU Hui－feng

（College of Science，Hangzhou Normal University，Hangzhou 310036，China）

This paper introduced the concept of strongly 3－Armendariz ring，and used general research approaches of ring theory to investigate its properties.The results prove that the subring and direct product of strongly 3－Armendariz ring are strongly 3－Armendariz rings，and the quotient ring and map ring are strongly 3－Armendariz rings under certain conditions.

strongly 3－Armendariz ring；quotient rings；direct product；map ring

O153.3 MSC2010：16E99；13F20

A

1674－232X（2012）01－0065－02

11.3969/j.issn.1674－232X.2012.01.014

2011－03－11

伍惠凤（1982—），女，基础数学专业硕士研究生，主要从事代数研究.E－mail：yaya57278570＠163.com