直纹曲面是可展曲面的一个充要条件＊

吴 芸，纪永强

（湖州师范学院 理学院，浙江 湖州313000）

微分几何是一门历史悠久的学科，近年来对数学中其它分支的影响越来越深刻，对自然科学中其它学科的影响范围也越来越大.与此同时，这门学科从内容到方法也在不断更新.

由动直线产生的曲面称为直纹曲面，动直线为该直纹曲面的直母线.如柱面、锥面、一条曲线的切线曲面等都是直纹曲面.可展曲面是直纹曲面的一种重要类型，它的研究是经典微分几何必涉及的内容.现在许多课程都用到了可展曲面的基本理论和基本思想方法，而且这方面的资料也很丰富.文献［1］中，利用曲线测地挠率与曲线挠率的关系刻画了直纹曲面是可展曲面.文献［2］中，利用单参数平面族的包络面刻画了直纹曲面是可展曲面.文献［3］中，利用曲面的高斯映射像刻画了直纹曲面是可展曲面.文献［4］中，给出了几个定理，并进行了详细说明.

本文推广文献［4］中的定理3.6.9，得到了直纹曲面是可展曲面的一个充分且必要条件，即：直纹曲面S∶r（u，ν）＝ρ（u）＋νe（u）是可展曲面的充要条件是：曲面S是它的切平面族的包络面.

设C∶ρ＝ρ（u）（u1≤u≤u2）是直纹曲面S上的一条准线，即C与所有直母线相交，设e（u）是过P（ρ（u））点的直母线上的非零矢量，则直纹曲面S的参数方程是：

其中u1≤u≤u2，－∞＜ν＜＋∞，u线是与准线C平行的曲线，ν线是直母线.

特别地，当ρ（u）＝ρ0是常矢量时，S∶r（u，ν）＝ρ0＋νe（u）是锥面.当e（u）＝e0是常矢量时，S∶r（u，ν）＝ρ（u）＋νe0是柱面.文献［4］中有如下几个定理：

定理1［4］直纹曲面S∶r＝ρ（u）＋νe（u）为可展曲面的充要条件是：

定理2［4］直纹曲面S∶r＝ρ（u）＋νe（u）为可展曲面的充要条件是：S上的直母线（ν线）是曲率线.

定理3［4］直纹曲面S∶r＝ρ（u）＋νe（u）为可展曲面的充要条件是：S上任一点的Gauss曲率都为零，即K（u，ν）＝0.

定理4［4］直纹曲面S∶r＝ρ（u）＋νe（u）为可展曲面的充要条件是：或者S是柱面，或者S是锥面，或者S是某一条曲线的切线曲面.

定理5［4］直纹曲面S∶r＝ρ（u）＋νe（u）为可展曲面的充要条件是：沿准线C∶ν＝0，r＝ρ（u），S是它的切平面族的包络面.

本文推广上面的定理5，得到如下定理：

定理 直纹曲面S∶r（u，ν）＝ρ（u）＋νe（u）为可展曲面的充要条件是：曲面S是它的切平面族的包络面.

证明 “⇒”.设直纹曲面S可展，由定理1得：

因为

所以曲面S上任一点M（u，ν）的法矢量为：

由（1）式知，三矢量ρ′（u），e（u），e′（u）共面，所以

将（3）式代人（2）式得：

曲面S上任一点的切平面的方程是：

即

即

这是单参数为u的切平面方程.现在求切平面族｛πu｝的包络面，特征线Lu的方程是：

即

所以平面族｛πu｝的包络面的准线方程是：

由（5）式知，平面πu的法矢量为：

得特征线Lu的方向矢量为：

由（7）式和（8）式知，平面族πu的包络面的方程是：

这正是直纹曲面S的方程.

“⇐”.设曲面S是它的切平面族的包络面，由（2）式知，曲面S的法矢量是：

曲面S上M（u，ν）点的切平面的方程是：

设M（u，ν）是曲面 上的任意一点，曲线C∶ν＝ν（u）是经过M（u，ν）点的任意一条曲线，由（11）式得，沿曲线C，曲面S的切平面的方程是：这是单参数u的平面方程.

由文献［4］中定理3.6.8关于特征点的讨论知，切平面族（12）式的包络面只有以下三种情形之一：或者S是柱面，或者S是锥面，或者S是某一条曲线的切线曲面.由定理4知，直纹曲面S∶r＝ρ（u）＋νe（u）是可展曲面.

［1］孙国汉，赵培林，刘以均.曲面可展的条件［J］.阜阳师范学院学报，1996，27（1）：22～25.

［2］赵燕，纪永强.直纹曲面是可展曲面的一个充要条件［J］.湖州师范学院学报，2009，31（2）：26～30.

［3］吴芸，纪永强.关于曲面的高斯像的一个定理［J］.湖州师范学院学报，2010，32（2）：27～32.

［4］纪永强.微分几何［M］.北京：高等教育出版社，2009：181～211.