滞后型EPCA 的数值方法①

杜春雪， 陈琳珏， 邢志红

(佳木斯大学理学院基础数学部，黑龙江 佳木斯154007)

0 引 言

本文考虑如下滞后型EPCA(Equations with Piecewise Continuous Arguments)

这里a，a0，a1，u0是实常数，［·］表示最大取整函数.

下面给出(1)解析解的某些结果，并采用书［8］中的记号

定义1.1［8］方程(1)的解u(t)在［0，∞)上满足如下条件:

(1)u(t)在［0，∞)上连续;

(2)对每个t ∈［0，∞)，u(t)均可导，除在可能节点［t］∈［0，∞)外，单侧导数存在;

(3)在每个［k，k + 1)⊂［0，∞)上的整数节点，u(t)满足(1).

定理1.1［8］方程(1)的解渐近稳定的充要条件是

的根有模小于1.

定理1.2［8］方程(1)在［0，∞)上有唯一解u(t)= m0({t})u［t］+m1({t})u［t-1］，这里{t}是t的分数部分，并且u［t］=是(2)的根.

1 Euler—Maclaurin 方法

定义2.1

把Bj，j = 0，1，…称为Bernoulli 数.

Bj具有下列性质:

命题2.1 已知B0= 1，B1=

引理2.1［3，4］设f(x)在［ti，ti+1］具有直至2n+3 阶连续导数，则有:

2 收敛性

鉴于以上，有:

定理3.1 对任意给定的n，Euler -Maclaurin方法的收敛阶为2n +2，其中n ∈N.

证明: 现令km ≤i ＜(k +1)m -1，由引理2.1 及f(t)= u'(t)得:

令i = (k+1)m-1，则对任意的ε:0 ＜ε ＜h，有:

在(9)中，取ε →0+，得:对i = (k +1)m -1，(8)成立.

假设ui= u(ti)，ukm= u(k)，由(7)及(8)得:

这意味着定理3.1 成立.

3 数值解的稳定性分析

令i = km +l，k ∈N，l = 0，1，…，m -1，则(7)可写成:

这里

迭代下去，有如下格式:

证明: 显然φ(0)= 1，设x ≠0.

若n 为奇数，则有:

若n 为偶数，则有:

由(5)得:

故无论n 是奇数或是偶数，当| x|≤1 时，总有φ(x)≥1 -，继而引理4.1 得证.

证明: 若n 为偶数，则

若n 为奇数，则

证毕.

定义4.1 对于(1)，使其数值格式(12)渐近稳定的点(a，a0，a1)的集合称为渐近稳定区域，记为S.

解析解的稳定区域H:

引理4.3 n →∞时，un→0 的充分必要条件是:k →∞时，ukm→0.

为方便起见，我们把H 划分成三部分，即

类似地，我们记

下面我们将讨论什么条件能使H ⊆S.

定理4.1 对Euler - Maclaurin 方法，有H ⊆S⇔n 为奇数.

证明: (1)a = 0 时，H ⊆S 显然.a ≠0 时，

H

由引理4.2，这表明n 为奇数.

4 小 结

本文用Euler - Maclaurin 方法分析了滞后型EPCA，证明了该方程数值解的收敛阶及稳定性，并得到了此方程数值解保持解析解渐近稳定的充分必要条件.

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