关于仙人掌图拓扑指数的一个注记①

赵 坤， 代少军， 黄晋阳

(1.佳木斯大学理学院，黑龙江 佳木斯154007;2.天津工业大学理学院，天津300387;3.北京化工大学理学院，北京100029)

1 介 绍

设G = (V(G)，E(G))是一个简单连通图，顶点集为V(G)，边集为E(G)，对任意的顶点u，v ∈V(G)，dG(u)(或者简记为d(u))和dG(u，v)表示u 的度数和u，v 的距离(即最短路径的边数目). 如果d(u)= 1，则u 称为G 的一个悬挂点.称uv ∈E(G)为一条边，是指u，v 以为结束顶点的边.设G1∪G2表示一个包含G1和G2两个分支的非连通图，kG 表示k(≥0)个图G 的组合，图G1和G2的交G1∨G2表示满足顶点集为V(G1∨G2)= V(G1∪G2)及边集为E(G1∨G2)= E(G1)∪E(G2)∪{uv:u ∈V(G1)，v ∈V(G2)}的图.通常，Kn，Pn及Cn分别表示n 个顶点的完全图，路径图及圈图.特别地，K1表示一个孤立点. 一个图称为仙人掌图，或树形图，是指它的任何圈最多有一个公共顶点［1，2］. 如果仙人掌图的所有圈仅有一个公共顶点，则称G 为丛图［1］.本文要研究的就是这类特殊的图.设G(n，c)表示有n 个顶点和c 个长度为3 的圈的丛图，如图1.这里n ≥2c+1 且c ≥0.有定义，我们得到G(n，c)= K1∨(cK2∪(n-2c-1)K1).

Schultz［3］在1989 年介绍了用一个结构图论的整数描绘了烷烃的特征，命名为Schultz 指数，定义为

通过修改公式(1)，Gutman［4］定义了修正Schultz指数，即

Schultz 指数和Schultz 修正指数是利用数学性质研究某些化学结构的拓扑指数之一，它们与许多的有机化合物的物理化学性质有密切的关系，特别是QSPR 和QSAR 性质.此类研究在参考文献［5 ～8］中有显见.

本文就主要考虑G(n，c)图的Schultz 指数和Schultz 修正指数，并对指数进行排序.

图1 G(n，c)图

2 G(n，c)图的Schultz 指数

定理1 对任意的整数对(n，c)

这里n ≥2c +1 且c ≥1.

证明: 设v 表示图G(n，c)的中心顶点. 为了便于计算，我们将G(n，c)图的顶点分成三类.第一类为cK2中的顶点，第二类为顶点v，第三类为(n-2c -1)K1中的顶点.利用公式(1)，得到……