M/G/1 工作休假排队①

高显彩， 单雪红， 张丽慧

(1.宿州学院 数学与统计学院，安徽 宿州234000;2.宿州市第二中学，安徽 宿州234000)

0 引 言

休假排队泛指服务台在某些时候不能为顾客提供服务的排队模型.在过去的20 年里，关于休假排队模型的研究得到了广泛而深入的研究［1～3］，在休假排队模型中，服务员在休假期中完全停止服务，但可以从事辅助工作.2002 年，Servi 和Finn 引入了工作休假策略［4］:服务员在休假期并未完全停止工作，而是以较低的速率为顾客服务. 他们研究了工作休假策略下的M/M/1 排队，得到了稳态队长和相关排队指标. 随后，有学者对M/M/1 工作休假排队进行了研究［6～7］.本文研究工作休假策略下连续时间的M/G/1 排队. 若在工作休假期间服务员的服务速率减小为零，则工作休假排队模型就成为了一个经典休假排队模型，所以，工作休假排队模型是经典休假排队模型的扩展.

1 系统描述

在工作休假的M/G/1 排队中，顾客到达服从泊松分布，在服务忙期和休假期的服务时间都为独立同分布的随机变量且服从一般分布.在休假期服务员以较低的速率为顾客服务而不是完全停止服务，当排队队列为空时服务员开始一个随机长度的工作休假.当假期结束，如果队列中有客户，服务员更改到快速服务速率为顾客服务，在休假结束时服务中断，回到正常工作状态;否则，开始另一个假期.连续两个假期之间的时间间隔称为一个服务期.在休假结束时，若队列中没有顾客服务期间的长度为零.为了研究方便，我们使用以下符号:

λ 为到达率;v(t)为一个工作休假长度的概率密度函数(pdf);V(t)为一个工作休假长度的分布函数;H(t)为工作休假中服务时间的分布函数;B(t)为服务期中服务时间的分布函数;φ(s)为拉普拉斯变换(LT);Ψ(s)为H(t)拉普拉斯斯蒂阶变换(LTS);β(s)为B(t)拉普拉斯斯蒂阶变换(LTS);v 为V(t)的均值;b 为B(t)的均值.

2 模型求解

令Y(t)表示t 时刻M/G/1 队列中的顾客数，设Y(0)= i(0 ≥)，转移概率矩阵为:

其概率母函数为:

Γi(z，t)的LT 为:

τ(s)是满足方程的最小非负根.

Ni(t)表示在时间间隔(0，t］被服务的顾客的数量.Ni(t)的LT 为:

X(t)表示t 时刻队列中的顾客数，{X(n);n =0，1，2，…}为一个离散时间马尔可夫链，X(n)表示在一个服务期间一个休假开始或一个服务开始时刻的队列大小，在假期服务开始时刻不是一个马尔可夫点.{X(n);n = 0，1，2，…}的状态转移概率为:pij= P{X(n+1)= j| X(n)= i};i，j = 0，1，2，…

当X(n)=0 意味着第n 个马尔可夫点为一个休假的开始时刻，则有，

若X(n)＞0，第n 个马尔可夫点为在服务期中一个服务开始的时刻.因此有X(n+1)≥X(n)-1 和pij

假设马尔可夫链是遍历的，极限分布为:

满足平衡方程:

设{πi;i = 0，1，2，…}的概率母函数为:Π(z)

由(7)式两端同乘以zj对j = 0，1，2，…进行求和得:

其中

是休假结束时刻队列大小的概率母函数.

为了说明(8)，(9)给出以下假设和引理.

假设1. 一个工作休假长度的概率密度函数v(t)有拉普拉斯变换(LT)φ(s).

引理1［5］假设A(t)为一个具有指数阶0 的函数，t ∈［0，∞)

备注1.方程(10)可为:

若Γ0(z，t)是指数阶0，| Γ0(z，t)|≤1，| z|≤1.由引理1，方程(9)可为:

把(2)式代入(12)式得:

引理2［5］如果假设1 成立，c1＜c ＜c2，| z|≤1，则

在(13)式中当z = 1 时

3 结 论

本文研究了空竭服务的M/G/1 多重工作休假，服务员在休假期并不是完全停止服务而是以不同的服务速率为顾客服务，在服务忙期和休假期的服务时间都为独立同分布的随机变量且服从一般分布.我们得到了稳定状态下列队大小的分布和概率母函数.有关M/G/1 工作休假的排队系统有待于进一步研究.

［1］ 田乃硕. 休假随机服务系统［M］. 北京:北京大学出版社，2001.

［2］ 田乃硕，岳德权. 拟生灭过程与矩阵几何解［M］. 北京:科学出版社，2002.

［3］ Takagi H. Queueing Analysis，Vol. 3 Discrete - Time Systems［M］. North-Holland，1993.

［4］ L.D. Servi，S. G. Finn，M/M/1 Queues with Working Vacations (M/M/1WV)，Perform. Eval，2002，50(1):41 –52.

［5］ D. - A. Wu. Queueing Models for Multimedia Communication Networks.PhD Dissertation，Institute of Policy and Planning Sciences，University of Tsukuba，January 2004.

［6］ 樊剑武，赵晓华，田乃硕.带有负顾客的M/M/1/N 单重工作休假排队系统［J］. 山东大学学报(理学版)，2009，44(8):68-73.

［7］ 顾庆凤，朱翼隽. 带有负顾客且具有Bernoulli 反馈的M/M/1工作休假排队［J］. 运筹与管理，2008，17(3):64 -69.