一个推广的Hardy-Hilbert 不等式及应用①

隆建军

(攀枝花市大河中学，四川 攀枝花617061)

0 引 言

这里，常数π/sin(π/p)是最佳值［1］，其等价形式是［2］

这里，常数［π/sin(π/p)］p仍是最佳值. 称(1)为Hardy - Hilbert 不等式.

当p = q = 2 时，不等式(1)和(2)变为:

上式的常数因子π 与π2是最佳的.

不等式(1)～(4)是分析学及其应用领域的重要不等式.近年来有许多专家、学者对其进行研究，得到了许多优秀的结果.

1999 年，BC.Yang 在文献［3］中，利用权系数的方法，对(1)式进行改进，得到:

这里γ = 0.5772+.

2003 年，Bicheng Yang 在文献［4］中改进权系数不等式，得到:

得到(1)的改进式:

当p = q = 2 时，不等式(6)变为:

2012 年，隆建军在文献［5］中得到如下精密的Hardy - Hilbert 不等式:

则

当p = q = 2，不等式(7)和(8)变为:

设an，bn≥0，0 ＜＜∞，则

设an≥0，使，则

本文利用权系数的方法，给出(1)～(4)的新的加强改进式，而且本文结论和文献［5］的结论不具有等价性，所以它们都是Hardy -Hilbert 不等式的全新推广结论.

1 几个引理

引理1［6］若f(2r)(x)＞0，f(2r+1)(x)＜0，x ∈∞，则有

则权系数不等式成立:

引理2 设r ＞1，n ∈N，定义下列权系数:

又由

由引理1 的(9)式和以上运算结果，有

对n ∈N，结合Bernoulli 不等式，有

把(12)式代入(11)即得(10).

引理3 设r ＞1，n ∈N，则下列权系数不等式成立:

证明:

所以

把(14)代入引理2 中的(10)，得

故引理3 成立.

2 主要结论及其证明

证明: 由Holder 不等式，有

故定理1 的(15)式成立. 证毕.

由(13)式和以上所得，有

故定理2 成立. 证毕.

在(15)和(17)式中取p = q = 2，可得:

推论1 设an，bn≥0(n ∈N).若，则有

推论2 若an≥0，使，则

［1］ Hardy G H，Littlewood J E，Polya G. Inequalities［M］. Cambridge Univ Press，1952.

［2］ YANG Bi-cheng.On a Generalization of Hilbert＇s Double Series Theorem［J］.Math Ineq Appl，2002，5(2):484 -497.

［3］ Yang BC.On a Strengthened Version of the more Accurate Hardy-Hilbert＇s Inequality［J］. Acta Math. Sinica(N. S.)，1999，(42):1103 -1110.

［4］ Bicheng Yang.A Strengthened Hardy -Hilbert＇s Inequality［J］.Proceedings of the Jangjeon Mathematical Society，2003，6(2):119 -124.

［5］ 隆建军.较为精密的Hardy-Hilbert 不等式的一个加强［J］.井冈山大学学报(自然科学版)，2012，33(4):25 -29.

［6］ 徐立治，王兴华.数学分析的方法及例题选讲［M］.北京:高等教育出版社，1985:81 -98.