一类时滞血糖调控模型的动力学分析①

温朝晖， 许永红

(1.安徽财经大学统计与应用数学学院 应用数学研究所，安徽 蚌埠233030;2.蚌埠学院 数理系，安徽 蚌埠233030)

0 引 言

最近，部分学者建立了胰岛素调控系统的数学模型，研究了时滞对系统动力学行为的影响. 时滞的变化，可能会导致整个调控系统呈周期变化，具体可参见文献［1 ～3］.

文献［4］考虑了如下具有时滞的血糖调控模型:

其中I(t)表示在t 时刻血液中活性胰岛素的水平，KI表示血液中胰岛素的平均值，h 表示胰腺细胞制造胰岛素所需时间.G(t)表示血液中葡萄糖的水平，KG表示血液中葡萄糖的平均值，rI，rG均为正常数，描述线性增长率，常数c 用来刻划血糖的反馈调控机制. 文献［4］主要利用数值方法研究了系统(1)解的渐近性，却并没有给出详细的数学分析. 因此，本文的主要目的是讨论系统(1)正平衡点的稳定性及周期解的存在性问题.

1 平衡点的稳定性

只需令系统(1)的右端函数为0，即可得到系统的三个非负平衡点:E1= (0，0)，E2= (0，KG(1+ c))，E3= (KI，KG).

考虑到系统(1)的实际意义，这里主要讨论正平衡点的稳定性. 系统(1)在平衡点E3处的线性近似系统为

其中a11= -rl，a12= rlKI/KG，a21= -crGKG/KI，a22= - rG，则相应的特征方程为

下面，将讨论超越方程(3)的根的分布.

当h = 0 时，方程(1)可化为

从而，当c ＞-1 时方程(4)的两个根都具有严格负实部;当c ＜-1 时方程(4)有一个正实部的根.

当h ＞0 时，由于共轭复根是成对出现的，假设λ = iω(ω ＞0)是其特征根，代入即可得到

两式平方和，得

显然，当c2-1 ＜0 即-1 ＜c ＜1 时，方程(5)有且仅有一个正实根，此时方程(3)有唯一一对纯虚根± iω0，此时

其中j = 0，1，2，….

下面验证横截条件.

引理1 若rG＞rI，则有

证……