基于Cook距离的三维激光扫描点云平面拟合*

严剑锋 邓喀中

1)中国矿业大学国土环境与灾害监测国家测绘局重点实验室，徐州 221116

2)中国矿业大学环境与测绘学院，徐州221116

1 引言

三维激光扫描技术是20世纪90年代发展起来的一种快速获取空间三维信息的新技术手段，以其非接触、扫描速度快、获取信息量大、实时性强、自动化等优点广泛用于测绘领域［1］。大部分情况下，三维激光点云处理的最终目的是建立精确的扫描物体的可视化模型。石银涛等［2］采用CAD 建模和地面三维激光扫描建模分别对某历史建筑进行三维模型重建，得出扫描建模方法具有快速、高效、精度高等优点;张毅等［3］将地面三维激光扫描技术应用于公路建模，完成了数字表面模型、等高线、纵横断面等的模型生成。

由于真实场景中含有大量平面特征，这些平面特征可以在后续建模中简化数据或者直接进行局部建模。因此平面特征提取成为3D 建模的重要组成部分，获取高精度的拟合平面是建模的重要研究内容［4］。很多研究人员对于平面拟合进行了研究和应用，潘国荣等［5］对RANSAC 算法进行改进，提出拟合平面自动提取算法，得到了理想的结果;官云兰等［4］针对点云数据存在粗差或异常值情况，采用一种以特征值法为基础的稳健的点云数据平面拟合方法。蔡来良［6］对三维激光扫描仪采集的变形监测数据进行平面拟合处理，分析了建筑物的整体形变，证明该方法的可行性和有效性。

三维激光扫描点云数据在获取过程中因树木、行人等遮挡会出现异常值，当异常点较多时，平面拟合结果会产生较大的偏差，最小二乘就失去了拟合的意义，影响最终的建模结果。针对这个问题，本文引入可以表征数据对模型估计影响大小的Cook 距离，提出一种基于Cook 距离的平面拟合方法。这种方法通过优选拟合点进行最小二乘平差计算，从而达到精确的平面拟合结果。

2 点云数据的平面拟合

设空间平面方程:

平面拟合总存在一定的误差，对测得的点云数据(xi，yi，zi)(i=0，1，…，m)，要求其最小二乘拟合平面其实就是使

即可表示成:vi=a0xi+a1yi+a2zi+1，i 为点的个数。求使v 最小的a0、a1、a2的值。对于有m 个点的点云数据，间接平差模型为

写成误差方程:

用最小二乘求解，得:

拟合中误差为:

式中，P 为权阵，一般取单位权。A 为由已知点信息构成的系数矩阵。

3 Cook 距离的定义

设有线性回归模型

这里Y 为n×1 的观测向量，β 为p×1 的参数向量，e 为n×1 的误差向量，X 为n ×p 的系数矩阵。在回归分析中，常常需要考虑对回归推断具有较大影响的数据，这些数据点称为强影响点。在众多选择强影响点的方法中，重要的一类是所谓的影响函数。记β 为从完全数据算出的β 的LS 估计;β(i)为剔除第i 组数据后，从其余n－1 组数据算出的β 的LS估计。称

为第i 组数据对β 的影响函数。IFi反映了剔除的数据引起回归系数的LS 估计变化大小。

为了更方便地表征影响函数变化的大小，通常考虑它的某种函数。对于剔除一组数据的情形，Cook 等引进了判定数据对LS 估计影响大小的IFi函数:

这里的M是正定方阵，C 为给定的常数。Di，1(M，C)愈大表示第i 组数据剔除后，β 变化愈大。因此，Di，1(M，C)度量了回归系数估计β 影响的大小。显然，Di，1(M，C)依赖于M、C 的选择。取M=为必要观测数，为利用完全数据算得的单位权方差)，则称为Cook 距离:

Cook 距离愈大，表示剔除第i 组数据后，参数的变化愈大［7－9］。

对于本文的平面拟合，不同于文献［7］中的情况:文献［7］不存在剔除较大误差点的问题，只需要找到对拟合影响最大的点，也称为强扰动点;本文中，计算得到的Cook 值较大的点实际上是平面拟合的强扰动点，Cook 值越大，对应的点与点云整体偏差越大。Cook 值越小，说明去掉该点对整体平面拟合的影响并不大，该点在点云的趋势中或接近点云整体趋势，为平面拟合的强势点。本文基于Cook 距离的最小二乘拟合的目的是将偏离真实平面较多的点剔除在外，采用准确的数据点进行拟合。

4 实验及结果分析

文中对于部分点云数据进行优选，期望用若干Cook 距离较小的点，进行平面拟合，获得较准确的结果。本文为说明问题，进行试验分析，采用一已知平面:1.732 0x+0.577 3y－z+1=0，用该平面完成试验分析。

已知平面如图1，从该平面上随机选取50 个点，并人为将其中任意13个点的坐标改动，使之成为异常点(有的异常点粗差较大，有的较小，如15号点只在z 方向加了0.04 的误差)，误差点达到了26%。为方便辨识，异常点号为:5、7、10、15、18、20、25、30、35、37、40、45、50。在三维激光扫描的点云数据中，这些异常点由树木、行人等遮挡产生。下面的实验基于经过改动的50 个点的新坐标数据。

图1 原始平面Fig.1 Original plane

用所有50 个点进行最小二乘平面拟合，得出平面方程2 为:1.635 7x+0.545 7y－0.947 6z+1=0，由式(5)计算拟合中误差。由式(9)计算Cook 距离，选出Cook 值最小的6 个点，即Cook距离达到0 的6 个点，点号为:13、14、36、43、44、48。

这6 个点即为对准确的模型估计影响最大的点，用该6 个点拟合平面方程3 为:1.732 0x +，拟合中误差

和用所有数据拟合中误差相比，Cook 点选取拟合精度更高，相差的数量级在103。

Cook 距离最大的6 个点如表1。从表1 可以看出，这6 个点全是异常值较大的点，通过Cook 距离计算可以被选出与剔除。这样可以对点云数据进行有效去噪。

增加两个异常点，当异常点达到15 个时，计算Cook 距离并选出值最小的6 个点用于平面拟合，如表2。

用表2 中点拟合出的平面方程为:1.732 1x +0.577 3y－1.000z+1=0，中误差为2.369 5 ×10－5，结果仍较准确。

表1 Cook 距离最大的6 个点Tab.1 6 points with the largest Cook distance

表2 15 个异常点时Cook 距离计算的6 个强影响点Tab.2 6 strong impact points based on Cook distance when 15 outliers exist in the point cloud

当然，当点云中异常点较多时，拟合精度和可靠性会降低。通过多次试验，当有17 个异常点时，无论异常数据在整体点云的哪个位置，15 号点(异常点)的Cook 值始终较小，导致作为异常数据的15 号点被选为拟合点。当拟合点中混入异常数据，对于后期的最小二乘平面拟合不利，精度必然降低。试算发现，该情况下，参数估计中误差在10－3的数量级，精度明显下降。这时可以通过适当增加选取的拟合点来提高精度。

5 结论

1)基于Cook 距离的点云数据平面拟合精度较高，稳定性较好，在一定范围内不会因为某个数据点的变化而导致整个平面的变化。当粗差点在30%内时，可以保持拟合结果的可靠性，和真实平面相当接近。同时，在平面特征明显的区域使用该方法可以大幅度缩减点云，精简数据。

2)在最小二乘进行平面拟合过程中，拟合点并不是越多越好，选取适量并有效的拟合点才是应用最小二乘方法的关键。

3)当异常点超过30%，中误差会下降很快，并且拟合出的平面和原始平面差距较大。在三维激光点云数据中，异常点数超过这一限值的情况并不多，然而，对于某些复杂情况，则需要将该方法和其他简单的滤波方法结合使用，以期达到较高的建模精度。同时，基于Cook 距离的最小二乘也可以进行点云去噪，即通过计算，Cook 距离值较大的点即为误差较大点或粗差点。

1 张启福，孙现申.三维激光扫描仪测量方法与前景展望［J］.北京测绘，2011，(1):39－42.(Zhang Qifu and Sun Xianshen.Measuring principle and developmental prospect of 3D laser scanner［J］.Beijing Surveying and Mapping，2011，(1):39－42)

2 石银涛，程效军，张鸿飞.地面三维激光扫描建模精度研究［J］.河南科学，2010，2(2):182－186.(Shi Yintao，Cheng Xiaojun and Zhang Hongfei.Study on the accuracy of terrestrial 3D laser scanning modeling［J］.Henan Science，2010，2(2):182－186)

3 张毅，闫利，崔晨风.地面三维激光扫描技术在公路建模中的应用［J］.测绘科学，2008，9(5):100－102.(Zhang Yi，Yan Li and Cui Chenfeng.Application of terrestrial 3D laser scanning to highway modeling［J］.Science of Surveying and Mapping，2008，9(5):100－102)

4 官云兰，程效军，施贵刚.一种稳健的点云数据平面拟合方法［J］.同济大学学报(自然科学版)，2008，7(7):981－984.(Guan Yunlan，Cheng Xiaojun and Shi Guigang.A robust method for fitting a plane to point clouds［J］.Journal of TONGJI University(Nature Science)，2008，7(7):981－984)

5 潘国荣，等.三维激光扫描拟合平面自动提取算法［J］.同济大学学报(自然科学版)，2009，9(9):1 250－1 255.(Pan Guorong，et al.Fitted plane automatic extraction algorithm of 3－D laser scanning［J］.Journal of Tongji University(Nature Science)，2009，9(9):1 250－1 255)

6 蔡来良，吴侃，张舒.点云平面拟合在三维激光扫描仪变形监测中的应用［J］.测绘科学，2010，9(5):231－232.(Cai Lailiang，Wu Kan and Zhang Shu.Application of point cloud plan fitting to deformation monitoring using 3D laser scanner［J］.Science of Surveying and Mapping，2010，9(5):231－232)

7 丁旭，等.基于Cook 距离的GPS 高程拟合点优选［J］.科技创新导报，2010，(20):81－82.(Din Xu，et al.GPS elevation fitting point optimization based on cook distance［J］.Science and Technology Innovation Herald，2010，(20):81－82)

8 R Dennis Cook.Detection of influential observations in linear regression［J］.Techonmetrics，1997，2(1):15－18.

9 田保光.最小二乘估计中的Cook 距离与相关系数［J］.贵州师范大学学报(自然科学版)，1993，(2):10－15.(Tian Baoguang.Cook Distance and Correlation Coefficient in Least Square Estimator［J］.Journal of Guizhou Normal University(Natural Science)，1993，(2):10－15)