一类具有Z2-等变性质的平面七次哈密顿向量场的全局相图及其分类

李艳梅



一类具有Z2-等变性质的平面七次哈密顿向量场的全局相图及其分类

李艳梅

（楚雄师范学院数学系，云南，楚雄 675000）

应用微分方程定性理论，研究了一类具有Z2-等变性质的平面七次哈密顿向量场的全局相图，对相图进行了分类，并划分了参数空间。

Z2-等变性质；七次平面哈密顿向量场；奇点；相图

并对具体的系统

证明该系统有49个有限奇点，4个无穷远奇点，并且随着参数的取值的不同，系统的相图也随之改变，最终得到一些已知文献中没有出现过的新的相图，其中＞1是一个参数。

1 奇点的性质

显然，系统（1）具有49个奇点:

系统（1）的雅可比行列式是

其中

为了研究系统（1）的全局性质，先证明以下的一般结果：

在一、二象限内有两个无穷远奇点。

不难看出，(0,0)不是系统（5）的奇点。引理1得证。

于是，由引理1及上面的讨论，关于系统（1），可以得到如下结果：

2 系统（1）的相图

系统（1）的哈密顿量是

并且不难算得

定理 2

从而系统（1）的相图如图1(1)所示。

从而系统（1）的相图如图1(2)所示。

从而系统（1）的相图如图1(3)所示。

图1(1)~(17) 系统（1）的相图 Fig.1 (1)~(17) Phase portraits of the System (1)

(4)若则有奇点处的哈密顿量满足关系

从而系统（1）的相图如图1(4)所示。

(5) 当时，于是，当时，奇点处的哈密顿量满足下列关系之一

从而系统（1）的相图如图1(5)所示。

(6) 若时，有则奇点处的哈密顿量满足关系

所以系统（1）的相图如图1(6)所示。

(7) 当时，。于是，当时，奇点处的哈密顿量满足下列关系之一

所以系统（1）的相图如图1(7)所示。

从而系统（1）的相图如图1(8)所示。

所以系统（1）的相图如图1(9)所示。

从而系统（1）的相图如图1(10)所示。……