不耐烦顾客休假排队系统性能和费用问题的研究

郭社平， 岳德权， 殷晓青， 王艳禹， 于 静

(燕山大学理学院 河北秦皇岛066004)

0 引言

现在大部分企业都会有服务中心，一个典型的服务中心可能会包含成千上万个服务器，当服务器工作或者开启时需要很多的能量，为了减少能量消耗，应该减少服务器的数量;同时，服务中心中的顾客倾向于不耐烦的，如果他们在被服务之前不得不等太长时间，有可能会离开服务中心，所以为了减少顾客流失的数量，就得增加服务器的数量．增加服务器会增加能量的消耗，减少服务器会造成顾客的流失，因此，很有必要去研究出一个策略让服务器的能量消耗与不耐烦顾客之间保持最优平衡．

已经有相当多的学者研究了计算机系统的能量消耗问题，最近对计算机系统的研究倾向于计算机的云计算［1－2］．文献［3－4］分析了服务器带有休假的模型，文献［5－6］研究了多服务台且带有启动时间的模型．文献［7］研究的是一部分服务器永久性开启，另一部分处于备用状态，但这样的模型对有些情况是不适合的，比如有些服务器隔一段时间会例行维修．在这种情况下去求解能量消耗费用与不耐烦顾客流失费用目标函数，这种情形是以前没有研究过的，而现实的服务中心确实会有这样的情况，作者在文献［7］的基础上对此种情况提出了一个策略．

1 模型描述

服务中心共有N个服务器，当系统中有顾客时，n个服务器先开启工作，假设服务器的关闭是立即的，有2个阀值控制着备用服务器的状态，设2个值为D，U(0≤D ＜U)，当系统中顾客数从U增加到U+1，就开启备用服务器，当系统中顾客数从D+1减少到D，那么就关闭备用服务器．顾客到达系统的时间间隔服从参数为λ的指数分布，服务时间服从参数为μ的指数分布，不耐烦等待时间服从参数为γ的指数分布，服务器开启时间服从参数为v的指数分布，休假时间服从参数为θ的指数分布．顾客到达时间间隔与服务时间、不耐烦等待时间、服务器开启时间相互独立，服务顺序是先到先服务，系统容量为∞．设J(t)为时刻t系统中的顾客数，I(t)假定如下:

根据假设，［I(t)，J(t)］是一个连续时间的马尔科夫过程(状态转移如图1所示)，则它存在平稳分布pi，j=［I(t)=i，J(t)=j:i=0，1，2，3;j=0，1，…］．离开率设为

假设R表示单位时间内平均流失顾客数，S表示单位时间内消耗能量的平均服务器数，c1和c2分别表示流失一个顾客数损失的费用和一个服务器单位时间内消耗能量造成的费用，则单位时间内系统中的平均总费用函数为C=c1R+c2S．

2 模型分析

根据上述假设，在平衡条件下图1的平衡方程为

其中，η = μ2，U+1=nμ +(U+1 － n)γ．

平衡方程的求解如下:

(i)当 i=0，j=1，2，…，U 时，首先设

(ii)当 i=1，1 ≤ j≤ D － 1 时，根据(3)式和 λp0，0= μ0，1p0，1+ μ1，1p1，1，则 p1，j可用 p0，0来表示．由(4)式可以得到 p1，j+1和 p1，j(j=D，…，U － 1)的关系，则 p1，j(j=D+1，…，U)也可用 p0，0来表示．

再从0到z积分，得

由0＜g2(1)＜∞，则

式知 p2，U=cUp2，U+1，联立(9)式，得 p2，U与 p1，U的关系，递推 p2，j可用 p0，0来表示．

则p0，0由正则性条件 表示出来．

(v)单位时间内消耗能量的平均服务器数为

其中

3 结论

对状态空间进行了分割，分别列出各个子空间中的平衡方程，根据平衡方程和正规化方程得到了平稳分布的计算方法，同时还得到了服务器能量消耗费用的表达式与不耐烦顾客流失造成的费用的计算方法，以及能量消耗与流失顾客总费用的计算方法．还可以推广到将备用服务器分成n个模块，这在现实生活中还是很有意义的．

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