四阶混合边值问题的广义Jacobi-Petrov-Galerkin谱方法

孙 涛， 侯 燕

(1.上海金融学院应用数学系 上海201209;2.周口师范学院计算机科学与技术学院 河南周口466001)

0 引言

1 准备工作

对于任意的实数 α，β ＞ －1，l次 Jacobi多项式 J(lα，β)(ξ)是如下 Sturm-Liouville问题的特征函数:

其对应的特征值为 λ(lα，β)=l(l+ α + β +1)，l=0，1，2，…．为了数值逼近，引入广义 Jacobi多项式［3］:

易知全体广义Jacobi多项式构成的系统{Y(lm，n)(ξ)}是区间Λ上以(1－ ξ)－m(1+ξ)－n为权函数的完备正交系．对于任意正整数N，记PN(Λ)为Λ上所有次数不超过N的代数多项式构成的集合．又定义多项式集合P0N，m，n(Λ)={φ ∈ PN(Λ)∂kξφ(－1)=0，当0≤k≤n －1时;∂kξφ(1)=0，当0≤ k≤ m －1时}．显然，

2 广义Jacobi-Gauss-Lobatto插值

用 ζ(Gα，N，β

，)j(0 ≤ j≤ N)表示 Jacobi多项式 J(Nα+，1β)(ξ)的 N+1 个按递减顺序排列的不同零点．由文献［4］可知，存在相应的 Christoffel系数 ω(Gα

，N，β，)j，

0 ≤ j≤ N，使得

当整数m，n≥1，0≤j≤N －m －n时，记

对任意整数r≥0，用Cr)表示上所有r次连续可微函数构成的空间．当r≥max(m－1，n－1)时，定义空间当时，可定义如下广义 Jacobi-Gauss-Lobatto 插值［3］:

接着讨论另一个广义Jacobi-Gauss-Lobatto插值．为此，引入多项式qm，n，j(ξ)∈ Pm+n－1(Λ)［3］，

记δk，j为Kronecker符号，则多项式q－m，n，j(ξ)满足条件:

3 离散格式

由Lax-Milgram引理可知，当f∈L2(S)，g2∈H－1/2(∂*S)和g0∈H3/2(∂*S)时，问题(6)有唯一解．

为了数值求解问题(1)，须数值求解问题(6)．类似文献［5］中的思想，首先考虑问题(6)的边界广义Jacobi-Gauss-Lobatto插值逼近问题．为此，令Nb为非负整数，引入集合

记数对N=(N，N)，ΡN(S)为区域S上所有次数不超过N的代数多项式构成的集合．则问题(7)的谱离散格式为:求 wN，Nb∈ VN，Nb(S)= ΡN(S)∩ V*(S)，使得

这样，利用广义Jacobi-Petrov-Galerkin谱格式(8)就可以求得问题(1)的数值解．

4 数值算法与结果

实际计算时，将数值解 wN，Nb(ξ1，ξ2)展开为

首先，在边界 Γi，i=1，2 上，根据插值条件(2)可以求得系数．然后，将(9)代入(8)，并取，即得到一个关于系数的线性系统．进一步令，则可将上述线性系统写成紧致矩阵形式．为此，

类似定义元素为 bl'1，l'2，l1，l2的矩阵 B．这样，即得(8)的紧致矩阵形式

从线性系统(10)中解出所有的系数w^(m，n)l1，l2，3≤l1，l2≤N，并将它们代入(9)即得问题(1)的数值解．

最后，用广义Jacobi-Petrov-Galerkin谱格式(8)对d=0，1时的问题(7)进行数值模拟．固定边界插值次数Nb=17，取实验函数为U(ξ1，ξ2)=(1 － ξ1)2(1 － ξ2)2sin(ξ1+ξ2)．为了度量数值误差，定义离散平均误差 EN，L2和离散最大模误差 EN，Max=

图1和图2分别描绘了log10(EN，L2)和log10(EN，Max)相对于自由度N的变化趋势．从图上可以看出，它们的值都随着自由度N的增大而迅速地减小，这说明作者提出的广义Jacobi-Petrov-Galerkin谱离散格式(8)是有效的，用该格式求出的数值解具有较高的逼近精度．

图1 d=0格式(8)的误差Fig．1 Errors of(8)with d=0

图2 d=1格式(8)的误差Fig．2 Errors of(8)with d=1

5 小结

发展了矩形区域上的四阶混合椭圆边值问题的广义Jacobi-Petrov-Galerkin谱格式，并给出了相应的数值实现方法.数值结果表明了所提谱格式的有效性和高精度.虽然只考虑了一个模型问题，但是作者提出的新方法可以推广到其他高维高阶混合非齐次边值问题的数值求解.

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［2］ 乔中华，陈绍春.窄边双三次Hermite矩形元［J］.郑州大学学报:理学版，2003，35(1):6-10.

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［4］ Szegö G.Orthogonal Polynomials［M］.Rhode Island:American Mathematical Society，1959:58-100.

［5］ 孙涛，易利军.四阶混合非齐次边值问题的Petrov-Galerkin谱方法［J］.数学的实践与认识，2013，43(11):255-260.